РАЗРЫ́ВА ТО́ЧКА

РАЗРЫ́ВА ТО́ЧКА, точ­ка, в ко­то­рой функ­ция не яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ной. В про­стей­шем слу­чае в Р. т. $x_0$ (рис.) су­ще­ст­ву­ют од­но­сто­рон­ние пре­де­лы функ­ции $f(x)$ спра­ва и сле­ва $$\lim_{h\gt 0,\,h→0}f(x_0+h)=f(x_0+0),\\ \lim_{h\lt 0,\,h→0}f(x_0+h)=f(x_0-0);$$ в этом слу­чае $x_0$ на­зы­ва­ет­ся Р. т. 1-го ро­да. Напр., Р. т. 1-го ро­да функ­ции $[x]$ (це­лая часть $x$ – наи­боль­шее це­лое чис­ло, мень­шее или рав­ное $x$) яв­ля­ют­ся все це­лые чис­ла. Раз­ность $f(x_0+0)-f(x_0-0)$ на­зы­ва­ет­ся скач­ком функ­ции $f(x)$ в точ­ке $x_0$. Ес­ли ска­чок ра­вен ну­лю, то $x_0$ назы­ва­ет­ся уст­ра­ни­мой точ­кой раз­ры­ва. В этом слу­чае су­ще­ст­ву­ет $\lim_{x→x_0}  f(x)$ и $x_0$ яв­ля­ет­ся Р. т. из-за то­го, что $f(x_0)$ не рав­на это­му пре­де­лу или не оп­ре­де­ле­на в этой точ­ке. Та­кой раз­рыв мож­но уст­ра­нить по­ло­жив $f(x_0)=\lim_{x→x_0}  f(x)$; по­лу­чит­ся не­пре­рыв­ная в точ­ке $x_0$ функ­ция. Напр., точ­ка $x_0=0$ яв­ля­ет­ся уст­ра­ни­мой Р. т. функ­ции $f(x)$, рав­ной $1$ при $x≠0$ и $f(0)≠1$. Р. т. 1-го ро­да на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ной, ес­ли $$f(x_0)=\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$$ Напр., точ­ка $x_0=0$ яв­ля­ет­ся пра­виль­ной Р. т. функ­ции $\rm{sign}\,\it x$, рав­ной $–1$ при $x\lt 0$, рав­ной $0$ при $x=0$, и рав­ной $1$ при $x\gt 0$.

Точ­ка $x_0$ на­зы­ва­ет­ся Р. т. 2-го ро­да функ­ции $f(x)$, ес­ли эта функ­ция оп­ре­де­ле­на в ок­ре­ст­но­сти этой точ­ки, за ис­клю­че­ни­ем, быть мо­жет, са­мой точ­ки $x_0$, и хо­тя бы один из од­но­сто­рон­них пре­де­лов не су­ще­ст­ву­ет. Напр., для функций $\frac{1}{x}$, $\sin\frac{1}{x}$точ­ка $x_0=0$ яв­ля­ет­ся Р. т. 2-го ро­да.

Функ­ция, мо­но­тон­ная на ин­тер­ва­ле, мо­жет иметь на нём толь­ко Р. т. 1-го рода.