РАЗМЕ́РНОСТЬ

РАЗМЕ́РНОСТЬ фи­гу­ры в ма­те­ма­ти­ке, чис­ло, рав­ное еди­ни­це, ес­ли фи­гу­ра есть ли­ния; рав­ное двум, ес­ли фи­гу­ра есть по­верх­ность; рав­ное трём, ес­ли фи­гу­ра яв­ля­ет­ся те­лом. С точ­ки зре­ния ана­ли­тич. гео­мет­рии Р. фи­гу­ры рав­на чис­лу ко­ор­ди­нат, нуж­ных для оп­ре­де­ле­ния по­ло­же­ния ле­жа­щей на этой фи­гу­ре точ­ки; напр., по­ло­же­ние точ­ки на кри­вой оп­ре­де­ля­ет­ся од­ной ко­ор­ди­на­той, на по­верх­но­сти – дву­мя ко­ор­ди­на­та­ми, в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве – тре­мя ко­ор­ди­на­та­ми. С раз­ви­ти­ем по­ня­тия о мно­го­мер­ных про­стран­ст­вах гео­мет­рия на­чи­на­ет за­ни­мать­ся фи­гу­ра­ми лю­бой Р. Про­стей­ши­ми фи­гу­ра­ми раз­мер­но­сти m яв­ля­ют­ся m-мер­ные мно­го­об­ра­зия; m-мер­ное мно­го­об­ра­зие, рас­по­ло­жен­ное в n-мер­ном про­стран­ст­ве, за­да­ёт­ся при по­мо­щи n-m урав­не­ний (напр., ли­ния, т. е. од­но­мер­ное мно­го­об­ра­зие, в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве за­да­ёт­ся дву­мя урав­не­ния­ми). По­ло­же­ние точ­ки на m-мер­ном мно­го­об­ра­зии оп­ре­де­ля­ет­ся «кри­во­ли­ней­ны­ми» ко­ор­ди­на­та­ми (напр., по­ло­же­ние точ­ки на сфе­ре оп­ре­де­ля­ет­ся её «гео­гра­фич. ко­ор­ди­на­та­ми» – дол­го­той и ши­ро­той). При­ве­дён­ные вы­ше по­ло­же­ния спра­вед­ли­вы лишь при не­ко­то­рых ог­ра­ни­чи­тель­ных пред­по­ло­же­ни­ях. Об­щее оп­ре­де­ле­ние Р. лю­бо­го замк­ну­то­го ог­ра­ни­чен­но­го мно­же­ст­ва, ле­жа­ще­го в n-мер­ном про­стран­ст­ве, бы­ло да­но П. С. Уры­со­ном: ока­зы­ва­ет­ся, что для то­го что­бы та­кое мно­же­ст­во име­ло раз­мер­ность ⩽m, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы оно при лю­бом ε>0 до­пус­ка­ло по­кры­тие крат­но­сти ⩽m+1 замк­ну­ты­ми мно­же­ст­ва­ми диа­мет­ра мень­ше ε. Это оп­ре­де­ле­ние Р. ес­те­ст­вен­но обоб­ща­ет­ся на ши­ро­кие клас­сы то­по­ло­гич. про­странств.