РАВНОСТЕПЕ́ННАЯ НЕПРЕРЫ́ВНОСТЬ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
РАВНОСТЕПЕ́ННАЯ НЕПРЕРЫ́ВНОСТЬ, свойство семейства $F$ функций $f(x)$, удовлетворяющих на данном множестве $E$ значений $x$ следующему условию: для любого $ε\gt 0$ существует такое $δ\gt 0$, что для любых $x_1,\,x_2∈E$ таких, что $∣x_1-x_2∣\lt δ$ и для любой функции $f(x)$ из $F$ выполняется неравенство $∣f(x_1)-f(x_2)∣\lt ε$. Каждая функция равностепенно непрерывного семейства на множестве $E$ равномерно непрерывна на этом множестве. Если равностепенно непрерывное семейство функций является равномерно ограниченным, т. е. существует такое число $M$, что для каждой функции $f(x)∈F$ и для любого $x∈E$ выполняется неравенство $∣f(x)∣⩽M$, то из каждой последовательности из $F$ можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на этом множестве к непрерывной функции, т. е. это семейство компактно в пространстве непрерывных функций.