РАВНОСТЕПЕ́ННАЯ НЕПРЕРЫ́ВНОСТЬ

РАВНОСТЕПЕ́ННАЯ НЕПРЕРЫ́ВНОСТЬ, свой­ст­во се­мей­ст­ва $F$ функ­ций $f(x)$, удов­ле­тво­ряю­щих на дан­ном мно­же­ст­ве $E$ зна­че­ний $x$ сле­дую­ще­му ус­ло­вию: для лю­бо­го $ε\gt 0$ су­ще­ст­ву­ет та­кое $δ\gt 0$, что для лю­бых $x_1,\,x_2∈E$ та­ких, что $∣x_1-x_2∣\lt δ$ и для лю­бой функ­ции $f(x)$ из $F$ вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во $∣f(x_1)-f(x_2)∣\lt ε$. Ка­ж­дая функ­ция рав­но­сте­пен­но не­пре­рыв­но­го се­мей­ст­ва на мно­же­ст­ве $E$ рав­но­мер­но не­пре­рыв­на на этом мно­же­ст­ве. Ес­ли рав­но­сте­пен­но не­пре­рыв­ное се­мей­ст­во функ­ций яв­ля­ет­ся рав­но­мер­но ог­ра­ни­чен­ным, т. е. су­ще­ст­ву­ет та­кое чис­ло $M$, что для ка­ж­дой функ­ции $f(x)∈F$ и для лю­бо­го $x∈E$ вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во $∣f(x)∣⩽M$, то из ка­ж­дой по­сле­до­ва­тель­но­сти из $F$ мож­но вы­де­лить под­пос­ле­до­ва­тель­ность, рав­но­мер­но схо­дя­щую­ся на этом мно­же­ст­ве к не­пре­рыв­ной функ­ции, т. е. это се­мей­ст­во ком­пакт­но в про­стран­ст­ве не­пре­рыв­ных функ­ций.