ПРОЕКТИ́ВНОЕ ПРОСТРА́НСТВО

ПРОЕКТИ́ВНОЕ ПРОСТРА́НСТВО, евк­ли­до­во про­стран­ст­во, до­пол­нен­ное бес­ко­неч­но уда­лён­ны­ми (не­соб­ст­вен­ны­ми) точ­ка­ми, пря­мы­ми и плос­ко­стью. При этом ка­ж­дая пря­мая до­пол­ня­ет­ся од­ной не­соб­ст­вен­ной точ­кой, ка­ж­дая плос­кость – од­ной не­соб­ст­вен­ной пря­мой, всё про­стран­ст­во – од­ной не­соб­ст­вен­ной пло­с­ко­стью; па­рал­лель­ные пря­мые до­пол­ня­ют­ся об­щей не­соб­ст­вен­ной точ­кой, не­па­рал­лель­ные – раз­ны­ми; па­рал­лель­ные плос­ко­сти до­пол­ня­ют­ся об­щей не­соб­ст­вен­ной пря­мой, не­па­рал­лель­ные – раз­ны­ми; не­соб­ст­вен­ные точ­ки, до­пол­няю­щие все­воз­мож­ные пря­мые дан­ной плос­ко­сти, при­над­ле­жат не­соб­ст­вен­ной пря­мой, до­пол­няю­щей ту же плос­кость; все не­соб­ст­вен­ные точ­ки и пря­мые при­над­ле­жат не­соб­ст­вен­ной плос­ко­сти.

П. п. мож­но оп­ре­де­лить ана­ли­ти­че­ски как со­во­куп­ность клас­сов про­пор­цио­наль­ных ме­ж­ду со­бой чет­вё­рок дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, не рав­ных од­но­вре­мен­но ну­лю. При этом клас­сы ин­тер­пре­ти­ру­ют­ся ли­бо как точ­ки П. п., и то­гда чис­ла $x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$ на­зы­ва­ют­ся од­но­род­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми то­чек, ли­бо как плос­ко­сти П. п., а чис­ла $u_1$,$u_2$,$u_3$,$u_4$ на­зы­ва­ют­ся од­но­род­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми плос­ко­стей. От­но­ше­ние ин­ци­дент­но­сти точ­ки и плос­ко­сти вы­ра­жа­ет­ся ра­вен­ст­вом $\sum_{i=1}^4 u_i x_i=0$. Ана­ло­гич­ным об­ра­зом вводит­ся по­ня­тие $n$-мер­но­го П. п., иг­раю­ще­го важ­ную роль в ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии.