ПОЧТИ́ ПЕРИОДИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

ПОЧТИ́ ПЕРИОДИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, зна­че­ния ко­то­рой при до­бав­ле­нии к ар­гу­мен­ту над­ле­жа­щим об­ра­зом вы­бран­ных по­сто­ян­ных (поч­ти пе­рио­дов) при­бли­жён­но по­вто­ря­ют­ся. Точ­нее, не­пре­рыв­ная функ­ция $f(x)$, оп­ре­де­лён­ная для всех дей­ст­ви­тель­ных зна­че­ний $x$, на­зы­ва­ет­ся поч­ти пе­рио­ди­че­ской, ес­ли для ка­ж­до­го $ε>0$ мож­но ука­зать та­кое $l=l(ε)$, что в ка­ж­дом ин­тер­ва­ле дей­ст­ви­тель­ной оси дли­ны $l$ най­дёт­ся хо­тя бы од­но чис­ло $τ=τ(ε)$, для ко­то­ро­го при лю­бом $x$ вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во $∣f(x+τ)-f(x)∣\lt ε$. Чис­ла τ на­зы­ва­ют­ся поч­ти пе­рио­да­ми функ­ции $f(x)$. Пе­рио­ди­че­ские функ­ции суть ча­ст­ные слу­чаи П. п. ф.; про­стей­шие при­ме­ры П. п. ф., не яв­ляю­щих­ся пе­рио­ди­че­ски­ми, по­лу­ча­ют­ся в ре­зуль­та­те сло­же­ния пе­рио­дич. функ­ций с не­срав­ни­мы­ми пе­рио­да­ми, напр., $\cos x+\cos\sqrt{2x}$ есть поч­ти пе­рио­ди­че­ская функ­ция.

Не­ко­то­рые важ­ные свой­ст­ва П. п. ф.:

1. П. п. ф. ог­ра­ни­че­на и рав­но­мер­но не­пре­рыв­на на всей дей­ст­ви­тель­ной оси.

2. Сум­ма и про­из­ве­де­ние ко­неч­но­го чис­ла П. п. ф. так­же яв­ля­ют­ся поч­ти пе­рио­ди­че­ской функ­ци­ей.

3. Пре­дел рав­но­мер­но схо­дя­щей­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти П. п. ф. так­же есть поч­ти пе­рио­ди­че­ская функ­ция.

4. Для ка­ж­дой П. п. ф. су­ще­ст­ву­ет сред­нее зна­че­ние на всей дей­ст­ви­тель­ной оси$$M\{f\}=\lim_{T\rightarrow\infty}\int\limits_{-T}^{T}f(x)dx.$$

5. Ка­ж­дой П. п. ф. мож­но со­пос­та­вить её ряд Фу­рье$$f(x)~\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{iλ_nx},$$при­чём $λ_1,λ_2,...$ мо­жет быть лю­бой по­сле­до­ва­тель­но­стью от­лич­ных друг от друга дей­ст­ви­тель­ных чи­сел и$$A_n=M\{f(x)e^{-iλ_nx}\}.$$

6. Для ка­ж­дой П. п. ф. спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во Пар­се­ва­ля$$M\{\left | f \right | ^2\}=\sum_{n=1}^{\infty}\left |A_n \right |^2.$$

7. Спра­вед­ли­ва тео­ре­ма един­ст­вен­но­сти: ес­ли $f(x)$ – П. п. ф. и для всех дей­ст­ви­тель­ных $λ$ $$M\left\{ f(x)e^{-iλx} \right\}=0,$$ то $f(x)≡0$; ина­че го­во­ря, ряд Фу­рье од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет поч­ти пе­рио­ди­че­скую функ­цию.

8. Спра­вед­ли­ва тео­ре­ма ап­прок­си­ма­ции: ес­ли $f(x)$ – П. п. ф., то для ка­ж­до­го $ε>0$ мож­но ука­зать та­кой ко­неч­ный три­го­но­мет­рич. по­ли­ном$$P_ε(x)=\sum\limits^N_{k=1} b_ke^{-iμ_kx},$$ где $μ_k$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, что для всех зна­че­ний $x$ вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во $\left | f(x)-P_ε(x) \right | \lt ε$ ; об­рат­но, ка­ж­дая функ­ция $f(x)$, об­ла­даю­щая этим свой­ст­вом, яв­ля­ет­ся поч­ти пе­рио­ди­че­ской функ­ци­ей.

Пер­вое по­строе­ние тео­рии П. п. ф. бы­ло да­но Х. Бо­ром (1925). Ещё ра­нее (1893) ча­ст­ный слу­чай П. п. ф. – т. н. ква­зи­пе­рио­дич. функ­ции, изу­чал латв. ма­те­ма­тик П. Боль.