ПОЛУНЕПРЕРЫ́ВНАЯ ФУ́НКЦИЯ

ПОЛУНЕПРЕРЫ́ВНАЯ ФУ́НКЦИЯ, по­ня­тие ма­те­ма­тич. ана­ли­за. П. ф. сни­зу (свер­ху) в точ­ке $x_0$ на­зы­ва­ет­ся функ­ция, для ко­то­рой ниж­ний пре­дел $$\underline\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$$ (со­от­вет­ст­вен­но, верх­ний пре­дел $$\overline\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)).$$ Ина­че, функ­ция по­лу­не­пре­рыв­на сни­зу в точ­ке $x_0$, ес­ли для лю­бо­го $ε\gt 0$ су­ще­ст­ву­ет $δ\gt 0$ та­кое, что из $|x-x_0|<δ$ вы­те­ка­ет $f(x_0)-f(x)\lt ε$ (не по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не!). Функ­ция, по­лу­не­пре­рыв­ная и сни­зу и свер­ху, не­пре­рыв­на в обыч­ном смыс­ле. Ряд свойств П. ф. ана­ло­ги­чен свой­ст­вам не­пре­рыв­ных функ­ций. Напр., сум­ма и про­из­ве­де­ние П. ф. сни­зу – П. ф. сни­зу; П. ф. сни­зу на от­рез­ке дос­ти­га­ет сво­его наи­мень­ше­го зна­че­ния.