ПОЗИЦИО́ННАЯ ИГРА́

ПОЗИЦИО́ННАЯ ИГРА́, бес­коа­ли­ци­он­ная иг­ра, мо­де­ли­рую­щая про­цес­сы по­сле­до­ва­тель­но­го при­ня­тия иг­ро­ка­ми ре­ше­ний в ус­ло­ви­ях, во­об­ще го­во­ря, не­пол­ной и, кро­ме то­го, ме­няю­щей­ся во вре­ме­ни ин­фор­ма­ции. При­ме­ра­ми П. и. слу­жат шаш­ки, шах­ма­ты, до­ми­но, по­кер, а так­же за­да­чи по­сле­до­ва­тель­но­го ста­ти­стич. ана­ли­за.

Про­цесс иг­ры со­сто­ит в по­сле­до­ва­тель­ном пе­ре­хо­де от од­но­го со­стоя­ния иг­ры к дру­го­му со­стоя­нию, ко­то­рый осу­ще­ст­в­ля­ет­ся ли­бо пу­тём вы­бо­ра не­ко­то­рым иг­ро­ком од­но­го из воз­мож­ных дей­ст­вий в со­от­вет­ст­вии с пра­ви­ла­ми иг­ры, ли­бо слу­чай­ным ме­ха­низ­мом (слу­чай­ный ход). Со­стоя­ния иг­ры на­зы­ва­ют­ся по­зи­ция­ми, а воз­мож­ные вы­бо­ры в ка­ж­дой по­зи­ции – аль­тер­на­ти­ва­ми. В клас­сич. П. и. мно­же­ст­во со­стоя­ний яв­ля­ет­ся ко­неч­ным. Ха­рак­тер­ная осо­бен­ность П. и. со­сто­ит в том, что мно­же­ст­во по­зи­ций мож­но пред­ста­вить в ви­де дре­во­вид­но упо­ря­до­чен­но­го мно­же­ст­ва, ко­то­рое на­зы­ва­ют де­ре­вом иг­ры, а про­цесс иг­ры со­сто­ит в пе­ре­хо­де от на­чаль­ной по­зи­ции к окон­ча­тель­ной че­рез не­по­сред­ст­вен­но сле­дую­щие друг за дру­гом про­ме­жу­точ­ные по­зи­ции. В ка­ж­дой окон­чат. по­зи­ции за­дан чи­сло­вой вы­иг­рыш ка­ж­до­го иг­ро­ка.

Раз­ли­ча­ют­ся П. и. с пол­ной и не­пол­ной ин­фор­ма­ци­ей. В иг­рах с пол­ной ин­фор­ма­ци­ей ка­ж­дый иг­рок при сво­ём хо­де зна­ет ту по­зи­цию де­ре­ва иг­ры, в ко­то­рой он на­хо­дит­ся. В иг­рах с не­пол­ной ин­фор­ма­ци­ей иг­ро­ку при сво­ём хо­де из­вест­но лишь не­ко­то­рое мно­же­ст­во по­зи­ций, на­зы­вае­мое ин­фор­мац. мно­же­ст­вом и со­дер­жа­щее по­зи­цию, в ко­то­рой иг­рок фак­ти­че­ски на­хо­дит­ся. Иг­ры с пол­ной ин­фор­ма­ци­ей со­от­вет­ст­ву­ют слу­чаю, ко­гда ка­ж­дое ин­фор­мац. мно­же­ст­во ка­ж­до­го иг­ро­ка со­сто­ит из од­ной по­зи­ции. Так, шаш­ки и шах­ма­ты яв­ля­ют­ся П. и. с пол­ной ин­фор­ма­ци­ей без слу­чай­но­го хо­да, а до­ми­но и по­кер, на­про­тив, – иг­ра­ми с не­пол­ной ин­фор­ма­ци­ей и со слу­чай­ным хо­дом.

В П. и. пред­по­ла­га­ет­ся, что все по­зи­ции, при­над­ле­жа­щие од­но­му ин­фор­мац. мно­же­ст­ву лю­бо­го иг­ро­ка, име­ют од­но и то же чис­ло аль­тер­на­тив. По­это­му ме­ж­ду мно­же­ст­ва­ми аль­тер­на­тив по­зи­ций лю­бо­го ин­фор­мац. мно­же­ст­ва мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие. Класс эк­ви­ва­лент­но­сти по это­му со­от­вет­ст­вию на­зы­ва­ют аль­тер­на­ти­вой ин­фор­мац. мно­же­ст­ва. Стра­те­ги­ей иг­ро­ка на­зы­ва­ет­ся функ­ция, ста­вя­щая в со­от­вет­ст­вие ка­ж­до­му его ин­фор­мац. мно­же­ст­ву аль­тер­на­ти­ву это­го мно­же­ст­ва. Вви­ду воз­мож­но­го на­ли­чия слу­чай­но­го хо­да ка­ж­дая си­туа­ция оп­ре­де­ля­ет не­кото­рое рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей на мно­же­ст­ве пар­тий, и, сле­до­ва­тель­но, на мно­же­ст­ве окон­чат. по­зи­ций. Под зна­че­ни­ем функ­ции вы­иг­ры­ша иг­ро­ка в лю­бой си­туа­ции по­ни­ма­ет­ся ма­те­ма­тич. ожи­да­ние его вы­иг­ры­шей по это­му рас­пре­де­ле­нию. Эта кон­ст­рук­ция по­зво­ля­ет све­сти П. и. к иг­ре в т. н. нор­маль­ной фор­ме.

Име­ют­ся разл. обоб­ще­ния клас­сич. П. и. на слу­чай бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва по­зи­ций и аль­тер­на­тив (см., напр., Ди­на­ми­че­ская иг­ра), а так­же мно­жеств по­зи­ций, ко­то­рые не­воз­мож­но дре­во­вид­но упо­ря­до­чить (при за­цик­ли­ва­нии про­цес­са ра­зыг­ры­ва­ния иг­ры).