ПОВТО́РНЫЙ ИНТЕГРА́Л

ПОВТО́РНЫЙ ИНТЕГРА́Л, по­ня­тие ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. Вы­чис­ле­ние двой­но­го ин­те­гра­ла $$I=\iint\limits_S (fx,y)dxdy$$ от функ­ции $f(x,y)$ по об­лас­ти $S$, ог­ра­ни­чен­ной пря­мы­ми $x=a, x=b$ и кри­вы­ми $y=φ_1(x), y=φ_2(x)$, при не­ко­то­рых ус­ло­ви­ях от­но­си­тель­но функ­ций $f(x,y), φ_1(x), φ_2(x)$ мож­но про­во­дить по фор­му­ле $$I=\int\limits_a^b\left( \int\limits_{φ_1(x)}^{φ_2(x)} f(x,y)dy\right)dx,$$ где при вы­чис­ле­нии внут­рен­не­го ин­те­гра­ла $x$ счи­та­ет­ся по­сто­ян­ным. Та­ким об­ра­зом, вы­чис­ле­ние двой­но­го ин­те­гра­ла сво­дит­ся к вы­чис­ле­нию двух обыч­ных ин­те­гра­лов или, как го­во­рят, к П. и. При не­ко­то­рых ус­ло­ви­ях на функ­цию $f(x,y)$ и об­ласть $S$ в П. и. мож­но из­ме­нять по­ря­док ин­тег­ри­ро­ва­ния (т. е. ин­тег­ри­ро­вать сна­ча­ла по $x$, а за­тем по $y$). Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся П. и. в слу­чае функ­ций боль­ше­го чис­ла пе­ре­мен­ных.