ПОВЕ́РХНОСТЬ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПОВЕ́РХНОСТЬ, одно из основных понятий геометрии. При уточнении этого понятия в разных разделах геометрии ему придаётся разл. смысл.
В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых П. определяется спец. способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Напр., П. шара – множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки (центра шара). Понятие П. лишь поясняется, а не определяется. Напр., говорят, что П. есть граница тела или след движущейся линии.
Математически строгое определение П. основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой П., которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям или изгибаниям). Более точно, простой П. называется образ гомеоморфного (т. е. взаимно однозначного и взаимно непрерывного) отображения внутренности квадрата. Этому определению можно дать аналитич. выражение. Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат $u$ и $v$ задан квадрат, координаты внутр. точек которого удовлетворяют неравенствам $0\lt u\lt 1, 0\lt v\lt 1$. Гомеоморфный образ этого квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат $x, y, z$ задаётся при помощи формул $x=φ(u, v), y=ψ(u, v), z=χ(u, v)$ (параметрич. уравнения П.). При этом от функций $φ(u, v), ψ(u, v), χ (u, v)$ требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для разл. точек $(u, v)$, и $(u', v')$ были разл. соответствующие точки $(x, y, z)$ и $(x', y', z')$. Примером простой П. является полусфера. Вся же сфера не является простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия П. Поверхность, окрестность каждой точки которой есть простая П., называется правильной. С точки зрения топологич. строения П., как двумерные многообразия, разделяются на неск. типов: замкнутые и открытые, ориентируемые и неориентируемые и др.
В дифференциальной геометрии исследуемые П. обычно подчинены условиям, которые связаны с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это – условия гладкости П., т. е. существования в каждой точке П. определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции $φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)$ предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах – неограниченное число раз, дифференцируемыми или даже аналитич. функциями. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя бы один из определителей $$\begin{vmatrix}φ_u' & φ_v' \\ ψ_u'& ψ_v'\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}φ_u' & φ_v' \\ χ_u'& χ_v'\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}ψ_u' & ψ_v' \\ χ_u'& χ_v'\end{vmatrix}$$ был отличен от нуля.
В аналитич. и алгебраич. геометрии П. определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений $$Φ(x, y, z)=0.\tag{*}$$ Определённая таким образом П. может и не иметь наглядного геометрич. образа. В этом случае для сохранения общности говорят о мнимых П. Напр., уравнение $x^2+y^2+z^2+ 1=0$ определяет мнимую сферу, хотя в действительном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют этому уравнению. Если функция $Φ (x, y, z)$ непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные $\frac{\partial Φ}{\partial x} ,\frac{\partial Φ}{\partial y}, \frac{\partial Φ}{\partial z}$, из которых хотя бы одна не обращается в нуль, то в окрестности этой точки П., заданная уравнением (*), будет правильной.