ПЕ́РВЫЙ ИНТЕГРА́Л

ПЕ́РВЫЙ ИНТЕГРА́Л обык­но­вен­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния, от­лич­ная от по­сто­ян­ной не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция, про­из­вод­ная ко­то­рой вдоль ре­ше­ний дан­но­го урав­не­ния то­ж­де­ст­вен­но рав­на ну­лю. Для ска­ляр­но­го урав­не­ния $$y'=f(x,y)\tag{*}$$ П. и. есть функ­ция $F(x,y)$ из ле­вой час­ти об­ще­го ре­ше­ния $F(x,y)=C$, где $C$ – про­из­воль­ная по­сто­ян­ная. Функ­ция $F(x, y)$ удов­ле­тво­ря­ет ли­ней­но­му урав­не­нию $$\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}f(x, y)=0$$ с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми 1-го по­ряд­ка. П. и. мо­жет не су­ще­ст­во­вать во всей об­лас­ти за­да­ния урав­не­ния $(*)$, од­на­ко в ма­лой ок­ре­ст­но­сти точ­ки, для ко­то­рой функ­ция $f(x,y)$ не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­ма, он все­гда су­ще­ст­ву­ет. П. и. оп­ре­де­ля­ет­ся не един­ст­вен­ным об­ра­зом. Так, для урав­не­ния $y'=-x/y$ П. и. яв­ля­ет­ся как функ­ция $x^2+y^2$, так, напр., и функ­ция $e^{x^2+y}$.

Зна­ние П. и. нор­маль­ной сис­те­мы $$ẋ=f(x,t),\quad x∈{\bf R}^n,$$по­зво­ля­ет по­ни­зить по­ря­док этой сис­те­мы на еди­ни­цу, а оты­ска­ние $n$ функ­цио­наль­но не­за­ви­си­мых П. и. рав­но­силь­но оты­ска­нию об­ще­го ре­ше­ния в не­яв­ном ви­де. Ес­ли $F_1(x,y), ..., F_n(x,y)$ – функ­цио­наль­но не­за­ви­си­мые П. и., то вся­кий дру­гой П. и. мож­но пред­ста­вить в ви­де $$F(x,t)=Φ(F_1(x,t), ..., F_n(x,t)),$$ где $Φ$ – не­ко­то­рая диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция.