ОСО́БАЯ ТО́ЧКА

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6.

ОСО́БАЯ ТО́ЧКА кри­вой, за­дан­ной урав­не­ни­ем $F(x,y)=0$, точ­ка $M_0(x_0,y_0)$, в ко­то­рой обе ча­ст­ные про­из­вод­ные функ­ции $F(x,y)$ об­ра­ща­ют­ся в нуль: $$\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)_0=0, \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)_0=0.$$Ес­ли при этом не все вто­рые ча­ст­ные про­из­вод­ные функ­ции $F(x,y)$ в точ­ке $M_0$ рав­ны ну­лю, то О. т. на­зы­ва­ет­ся двой­ной. Ес­ли на­ря­ду с об­ра­ще­ни­ем в нуль пер­вых про­из­вод­ных в точ­ке $M_0$ об­ра­ща­ют­ся в нуль и все вто­рые про­из­вод­ные, но не все тре­тьи про­из­вод­ные рав­ны нулю и т. д., то О. т. на­зы­ва­ет­ся трой­ной, ..., $n$-крат­ной. При ис­сле­до­ва­нии строе­ния кри­вой вбли­зи двой­ной О. т. важ­ную роль иг­ра­ет знак вы­ра­же­ния $$\Delta=\left(\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right)_0 \left(\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\right)_0-\left(\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}\right)_0^2.$$Ес­ли $\Delta \gt 0$, то О. т. яв­ля­ет­ся изо­ли­ро­ван­ной; напр., у кри­вой $y^2-x^4+4x^2=0$ на­ча­ло ко­ор­ди­нат есть изо­ли­ро­ван­ная О. т. (рис. 1). Ес­ли $\Delta \lt 0$, то О. т. на­зы­ва­ет­ся уз­ло­вой или точ­кой са­мо­пе­ре­се­че­ния; напр., у кри­вой $(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2-a^4=0$ на­ча­ло ко­ор­ди­нат есть уз­ло­вая О. т. (рис. 2). Ес­ли $\Delta=0$, то О. т. яв­ля­ет­ся ли­бо изо­ли­ро­ван­ной, ли­бо ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что разл. вет­ви кри­вой име­ют в этой точ­ке об­щую ка­са­тель­ную, напр.: а) точ­ка воз­вра­та (точ­ка за­ост­ре­ния) 1-го ро­да – разл. вет­ви кри­вой рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от об­щей ка­са­тель­ной и об­ра­зу­ют ост­риё, как у кри­вой $y^2-x^3=0$ (рис. 3, а); б) точ­ка воз­вра­та (точ­ка за­ост­ре­ния) 2-го ро­да – разл. вет­ви кри­вой рас­положе­ны по од­ну сто­ро­ну от об­щей ка­са­тель­ной, как у кри­вой $(y-x^2)^2-x^5=0$ (рис. 3, б); в) точ­ка са­мо­при­кос­нове­ния (для кри­вой $y^2-x^4=0$ на­ча­ло ко­ор­ди­нат яв­ля­ет­ся точ­кой са­мо­при­кос­но­ве­ния; рис. 3, в). На­ря­ду с ука­зан­ны­ми О. т., име­ет­ся мно­го дру­гих О. т. со спец. на­зва­ния­ми; напр., асим­пто­ти­че­ская точ­ка – вер­ши­на спи­ра­ли с бес­ко­неч­ным чис­лом вит­ков (рис. 4), точ­ка пре­кра­ще­ния (рис. 5), уг­ло­вая точ­ка (точ­ка из­ло­ма) (рис. 6) и т. д.