ОСО́БАЯ ТО́ЧКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОСО́БАЯ ТО́ЧКА дифференциального уравнения, точка, в которой одновременно обращаются в нуль и числитель, и знаменатель правой части дифференциального уравнения $$\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}, \quad\tag{*}$$где $P$ и $Q$ – непрерывно дифференцируемые функции. Предполагая О. т. расположенной в начале координат и используя формулу Тейлора, уравнение $(*)$ можно представить в виде $$\frac{dy}{dx}=\frac{\gamma x+\delta y +P_1(x,y)}{\alpha x +\beta y+ Q_1(x,y)},$$где $P_1(x,y)$ и $Q_1(x,y)$ – бесконечно малые по отношению к $\sqrt{x^2+y^2}$. Характер поведения интегральных кривых около О. т. зависит от корней $\lambda_1$ и $\lambda_2$ характеристич. уравнения $$ \begin{vmatrix} \alpha-\lambda & \beta\\ \gamma & \delta-\lambda\\ \end{vmatrix}= 0. $$ Точнее, если $\lambda_1 \neq \lambda_2$ и $\lambda_1\lambda_2 \gt 0$ или $\lambda_1=\lambda_2$, то О. т. есть узел; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности узла, входят в него. Если $\lambda_1 \neq \lambda_2$ и $\lambda_1\lambda_2 \lt 0$ , то О. т. есть седло; в окрестности седла четыре интегральные кривые (сепаратрисы) входят в О. т., а между ними располагаются интегральные кривые типа гиперболы. Если $\lambda_{1,2}=-a \pm ib, a \neq 0, b \neq 0$, то О. т. есть фокус; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности фокуса, представляют собой спирали с бесконечным числом витков в любой сколь угодно малой окрестности фокуса. Если, наконец, $\lambda_{1,2}=\pm ib$, $b \neq 0$, то характер О. т. не определяется одними линейными членами в разложениях $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, как это имело место во всех перечисленных случаях; здесь О. т. может быть фокусом или центром, а может иметь и более сложный характер. В окрестности центра все интегральные кривые являются замкнутыми и содержат центр внутри себя.
Так, напр., начало координат является узлом для уравнений $y'=2y/x$ ($\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$; рис. 1, а) и $y'=y/x$ ($\lambda_1=\lambda_2=1$; рис. 1, б), седлом для уравнения $y'=-y/x$ ($\lambda_1=-1$, $\lambda_2=1$; рис. 2), фокусом для уравнения $y'=(x+y)/(x-y)$ ($\lambda_1=1-i$, $\lambda_2=1+i$; рис. 3) и центром для уравнения $y'=-x/y$ ($\lambda_1=-i$, $\lambda_2=i$; рис. 4).
Если $\Delta= \begin{vmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\\ \end{vmatrix}= 0$ , то О. т. называется О. т. высшего порядка. О. т. высшего порядка могут принадлежать к указанным типам, но могут иметь и более сложный характер. В случае когда функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ аналитические, окрестность О. т. высшего порядка может распадаться на области: $D_1$ – заполненные интегральными кривыми, обоими концами входящими в О. т. (эллиптич. области), $D_2$ – заполненные интегральными кривыми, одним концом входящими в О. т. (параболич. области), и $D_3$ – области, ограниченные двумя интегральными кривыми, входящими в О. т., между которыми расположены интегральные кривые типа гипербол (гиперболич. области) (рис. 5). Если нет интегральных кривых, входящих в О. т., то О. т. называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой О. т. состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих О. т. внутри себя, между которыми расположены спирали (рис. 6).
Изучение О. т. дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности О. т., составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения.
