О́БЩИЙ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
О́БЩИЙ ИНТЕГРА́Л системы обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка $$x_i′=f_i(t,x_1,...,x_n), i=1,...,n, \tag 1$$в области $G$, совокупность $n$ соотношений$$Φ_i(t,x_1,...,x_n)=C_i, \quad i=1,...,n,\tag 2$$содержащая $n$ параметров $(C_1,...,C_n)∈ ∈C⊂\mathbf R^n$и в неявном виде описывающая семейство функций, составляющих общее решение этой системы в области $G$. Часто О. и. системы (1) называют не соотношения (2), а совокупность функций$$Φ_i(t,x_1,...,x_n), \quad i=1,...,n.\tag 3$$
Каждое из соотношений (2) [или каждая из функций (3)] называется первым интегралом системы (1). Иногда под О. и. системы (1) понимают совокупность более общих, чем (2), соотношений $$Φ_i(t,x_1,...,x_n, C_1,...,C_n)=0, \quad i=1,...,n.$$
В случае обыкновенного дифференциального уравнения $n$-го порядка$$y^{(n)}=f(x, y, y′ ,...,y^{(n-1)})$$
О. и. в области $G$ представляет собой одно соотношение с $n$ параметрами$$Φ(x,y,C_1,...,C_n)=0,$$в виде неявной функции описывающее общее решение этого уравнения в области $G$.
О. и. дифференциального уравнения с частными производными 1-го порядка называется соотношение между переменными, входящими в уравнение, содержащее одну произвольную функцию и определяющее при каждом выборе этой функции решение уравнения.