ОБРА́ТНАЯ ФУ́НКЦИЯ

ОБРА́ТНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция $x=h(y)$, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся из дан­ной функ­ции $y=f(x)$, ес­ли из со­от­но­ше­ния $f(x)=y$ вы­ра­зить $x$ че­рез $y$. Бо­лее под­роб­но это оз­на­ча­ет сле­дую­щее. Пусть функ­ция $y=f(x)$ оп­ре­де­ле­на на мно­же­ст­ве $E$, и пусть $E′$ – мно­же­ст­во её зна­че­ний. Об­рат­ной по от­но­ше­нию к $y=f(x)$ на­зы­ва­ет­ся та­кая функ­ция $x=h(y)$, ко­то­рая оп­ре­де­ле­на на мно­же­ст­ве $E′ $и ка­ж­до­му $y∈E′$ ста­вит в со­от­вет­ст­вие та­кое $х∈E$, что $f(x)=y$. Та­ким об­ра­зом, для на­хо­ж­де­ния функ­ции $x=h(y)$, об­рат­ной к функ­ции $y=f(x)$, не­об­хо­ди­мо ре­шить урав­не­ние $f(x)=y$ от­но­си­тель­но $x$. Напр., О. ф. к $y=3x$ яв­ля­ет­ся $x=y/3$; О. ф. к $y=10^x$ яв­ля­ет­ся $x=\lg y$.

Ото­бра­же­ние, за­да­вае­мое функ­ци­ей $x=h(y$), об­рат­ной к $y=f(x)$, яв­ля­ет­ся (ле­вым) об­рат­ным к ото­бра­же­нию, за­да­вае­мо­му функ­ци­ей $y=f(x)$. При этом име­ет ме­сто то­ж­де­ст­во $f(h(y))≡y$ для всех $y $ из мно­же­ст­ва $E′$.

Для функ­ции $y=f(x)$ О. ф. $x=h(y)$ мо­жет быть мно­го­знач­ной. Напр., О. ф. к $y=x^2$ яв­ля­ет­ся $x=\pm\sqrt y$, $y>0$; О. ф. к $y=\tan x$ яв­ля­ет­ся $x=\textrm{Arctan} y= \arctan y +kπ,\,k=0, ±1, ±2,\dots$ (см. Об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции). Для од­но­знач­но­сти О. ф. не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы дан­ная функ­ция $y=f(x)$ при­ни­ма­ла раз­л. зна­че­ния при раз­л. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та, т. е. что­бы $f$$(x_1)≠f(x_2)$ при $x_1≠x_2$. Для од­но­знач­но­сти О. ф. $x=h(y)$ к функ­ции $y=f(x)$ дос­та­точ­но, что­бы $y=f(x)$ бы­ла стро­го мо­но­тон­ной функ­ци­ей. Это ус­ло­вие яв­ля­ет­ся и не­об­хо­ди­мым, ес­ли функ­ция $y=f(x)$ оп­ре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на чи­сло­вом про­ме­жут­ке; в этом слу­чае О. ф. так­же оп­ре­де­ле­на, стро­го мо­но­тон­на и не­пре­рыв­на на чи­сло­вом про­ме­жут­ке. При этом, ес­ли функ­ция $f(x)$ име­ет про­из­вод­ную и $f'(x)≠0$, то О. ф. $h(y)$ так­же име­ет про­из­вод­ную и $h′(y)=1/f'(h(y))$.

В слу­чае, ко­гда О. ф. к функ­ции $y=f(x)$ мно­го­знач­на, рас­смат­ри­ва­ет­ся та­кой чи­сло­вой про­ме­жу­ток, на ко­то­ром $y=f(x)$ стро­го мо­но­тон­на, то­гда для $y=f(x)$ на этом про­ме­жут­ке О. ф. од­но­знач­на. Напр., для функ­ции $y=x^2, x⩾ 0,$ О. ф. есть $x= \sqrt y $; для $y=x^2, x⩽ 0,$ О. ф. есть $x=-\sqrt y$; для функ­ции $y=sinx$, $-π/2⩽x⩽π/2,$ О. ф. есть $x=arcsiny$.

Ино­гда О. ф. к функ­ции$ y=f(x)$ обо­зна­ча­ет­ся $x=f^{-1}(y)$. Ес­ли О. ф. од­но­знач­на, то $f^{-1}(f(x))≡x$ при всех $x$ из об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния функ­ции $f(x) \quad и\quad f(f^{-1}(x))≡x$ при всех $x$ из об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния функ­ции $f^{-1}(x)$. Гра­фи­ки (рис.) функ­ций $y=f(x)$  и $y=f^{-1}(x)$ сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы пер­во­го и третье­го ко­ор­ди­нат­ных уг­лов.