ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОБРА́ТНАЯ ТЕОРЕ́МА, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключение – условием. Обратной к О. т. является исходная (прямая) теорема. Т. о., прямая и О. т. взаимно обратны. Напр., теоремы «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» являются обратными друг другу. Из справедливости к.-л. теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Напр., теорема «если число делится на 6, то оно делится и на 3» верна, а О. т. «если число делится на 3, то оно делится и на 6» неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Напр., в евклидовой геометрии верны как теорема «две прямые, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются», так и обратная к ней теорема «две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме о параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В геометрии Лобачевского вторая теорема просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение первой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).