ГАРМОНИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ГАРМОНИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ (анализ Фурье), раздел математич. анализа, изучающий представления функций, описывающих сложные колебания, с помощью более простых функций, напр. гармоник вида $A \sin(ωx+φ)$, где $A,ω,φ$ – постоянные, а $x$ – переменная. К Г. а. относят теорию Фурье рядов, теорию Фурье интегралов, теорию почти периодических функций, вопросы, связанные с ортогональными разложениями и приближениями функций тригонометрич. полиномами. В Г. а. изучаются функции как одной, так и мн. переменных.
Периодич. функция при не очень жёстких дополнительных условиях равна сумме своего ряда Фурье, являющегося рядом из гармонич. компонент, коэффициентами которых служат Фурье коэффициенты функции. Для представления непериодич. функций используются интегралы Фурье.
Г. а. зародился в сер. 18 в. при исследовании задачи о колебании струны. Важную роль в развитии Г. а. сыграли работы Ж. Б. Фурье нач. 19 в. В самостоят. математич. дисциплину Г. а. оформился в кон. 19 – нач. 20 вв. В дальнейшем обнаружились тесные связи Г. а. с общими проблемами теории функций и функционального анализа.
Методы Г. а. используются во многих областях математики: в комплексном анализе при изучении граничных свойств аналитич. функций, в математич. физике для решения уравнений с частными производными Фурье методом, в теории вероятностей для изучения свойств распределений случайных величин с помощью характеристических функций, а также в физике и технике.
Разработаны разнообразные приёмы т. н. практического Г. а., служащие для приближённого вычисления коэффициентов Фурье и нахождения полиномов, аппроксимирующих заданную функцию, когда точное решение затруднительно или невозможно (напр., когда функция задана графиком или таблицей значений).