ВЫ́БОРОЧНЫЙ МЕ́ТОД

ВЫ́БОРОЧНЫЙ МЕ́ТОД, ста­ти­стич. ме­тод ис­сле­до­ва­ния об­щих свойств со­во­куп­но­сти к.-л. объ­ек­тов на ос­но­ве изу­че­ния свойств лишь час­ти этих объ­ек­тов, на­зы­вае­мой вы­бор­кой. Ма­те­ма­тич. тео­рия В. м. опи­ра­ет­ся на два раз­де­ла ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки – тео­рию вы­бо­ра из ко­неч­ной со­во­куп­но­сти и тео­рию вы­бо­ра из бес­ко­неч­ной со­во­куп­но­сти. Осн. от­ли­чие В. м. для ко­неч­ных и бес­ко­неч­ных со­во­куп­но­стей за­клю­ча­ет­ся в том, что в пер­вом слу­чае В. м. при­ме­ня­ет­ся, как пра­ви­ло, к объ­ек­там не­слу­чай­ной, де­тер­ми­ни­ро­ван­ной при­ро­ды (напр., чис­ло де­фект­ных из­де­лий в дан­ной пар­тии го­то­вой про­дук­ции не яв­ля­ет­ся слу­чай­ной ве­ли­чи­ной, это чис­ло – не­из­вест­ная по­сто­ян­ная, ко­то­рую над­ле­жит оце­нить по вы­бо­роч­ным дан­ным). Во вто­ром слу­чае В. м. обыч­но при­ме­ня­ет­ся для изу­че­ния свойств слу­чай­ных объ­ек­тов (напр., для ис­сле­до­ва­ния свойств не­пре­рыв­но рас­пре­де­лён­ных слу­чай­ных оши­бок из­ме­ре­ний, ка­ж­дое из ко­то­рых мо­жет быть ис­тол­ко­ва­но как реа­ли­за­ция од­но­го из бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва воз­мож­ных ре­зуль­та­тов).

Выбор из конечной совокупности

Вы­бор из ко­неч­ной со­во­куп­но­сти и его тео­рия яв­ля­ют­ся ос­но­вой ста­ти­стич. кон­тро­ля ка­че­ст­ва, а так­же при­ме­ня­ют­ся в со­цио­ло­гич. ис­сле­до­ва­ни­ях. Счи­та­ет­ся, что вы­бор­ка бу­дет пра­виль­но от­ра­жать свой­ст­ва всей со­во­куп­но­сти, ес­ли вы­бор про­из­во­дит­ся слу­чай­но, т. е. так, что лю­бая из воз­мож­ных вы­бо­рок за­дан­но­го объ­ё­ма $n$ из со­во­куп­но­сти объ­ё­ма $N $име­ет оди­на­ко­вую ве­ро­ят­ность быть фак­ти­че­ски вы­бран­ной.

На прак­ти­ке наи­бо­лее час­то ис­поль­зу­ет­ся вы­бор без воз­вра­ще­ния (бес­по­втор­ная вы­бор­ка), ко­гда ка­ж­дый ото­бран­ный объ­ект в ис­сле­дуе­мую со­во­куп­ность не воз­вра­ща­ет­ся (та­кой вы­бор при­ме­ня­ет­ся, напр., при ста­ти­стич. кон­тро­ле ка­че­ст­ва, а так­же при де­мо­гра­фич. ис­сле­до­ва­ни­ях). Вы­бор с воз­вра­ще­ни­ем (вы­бор­ка с по­вто­ре­ни­ем) рас­смат­ри­ва­ет­ся обыч­но лишь в тео­ре­тич. ис­сле­до­ва­ни­ях (при­ме­ром вы­бо­ра с воз­вра­ще­ни­ем яв­ля­ет­ся ре­ги­ст­ра­ция чис­ла час­тиц, кос­нув­ших­ся в те­че­ние дан­но­го вре­ме­ни сте­нок со­су­да, внут­ри ко­то­ро­го со­вер­ша­ет­ся бро­унов­ское дви­же­ние). Ес­ли $n$ су­ще­ст­вен­но мень­ше $N$, то по­втор­ный и бес­по­втор­ный вы­бо­ры да­ют прак­ти­че­ски эк­ви­ва­лент­ные ре­зуль­та­ты.

Свой­ст­ва со­во­куп­но­сти, ис­сле­дуе­мые с по­мо­щью В. м., мо­гут быть ка­че­ст­вен­ны­ми и ко­ли­че­ст­вен­ны­ми. В пер­вом слу­чае за­да­ча вы­бо­роч­но­го об­сле­до­ва­ния за­клю­ча­ет­ся в оп­ре­де­ле­нии чис­ла $M$ объ­ек­тов со­во­куп­но­сти, об­ла­даю­щих к.-л. при­зна­ка­ми (напр., при ста­ти­стич. кон­тро­ле час­то ин­те­ре­су­ют­ся чис­лом $M$ де­фект­ных из­де­лий в пар­тии объ­ё­ма $N$). Оцен­кой для $M$ слу­жит от­но­ше­ние $Nm/n$, где $m$ – чис­ло объ­ек­тов с дан­ным при­зна­ком в вы­бор­ке объ­ё­ма $n$. В слу­чае ко­ли­че­ст­вен­но­го при­зна­ка име­ют де­ло с оп­ре­де­ле­ни­ем сред­не­го зна­че­ния $\bar{X}=(X_1+X_2+\dots+X_N)/N$ со­во­куп­но­сти. Оцен­кой $\bar{X}$ для яв­ля­ет­ся вы­бо­роч­ное сред­нее $\bar{x}=(x_1+x_2+\dots+x_n)/n$, где $x_1, x_2, …, x_n$ – те зна­че­ния при­зна­ка из ис­сле­дуе­мой со­во­куп­но­сти $X_1, X_2, …, X_N$, ко­то­рые при­над­ле­жат $n$ вы­бран­ным объ­ек­там. Пер­вый слу­чай мож­но све­сти ко вто­ро­му, по­ла­гая ве­ли­чи­ны $X_i$ рав­ны­ми еди­ни­це, ес­ли $i$-й объ­ект об­ла­да­ет за­дан­ным при­зна­ком, и рав­ны­ми ну­лю для ос­таль­ных объ­ек­тов; в этой си­туа­ции $\bar{X}=M/N$ и $\bar{x}=m/n.$

В ма­те­ма­тич. тео­рии В. м. за ха­рак­те­ри­сти­ку из­мен­чи­во­сти при­зна­ка обыч­но при­ни­ма­ют $D $– квад­рат­ный ко­рень из дис­пер­сии$$D^2=\frac{(X_1-\bar{X})^2+ ... +(X_N-X)^2}{N},$$пред­став­ляю­щей со­бой сред­нее зна­че­ние квад­ра­тов от­кло­не­ний $X_i$ от их сред­не­го зна­че­ния $\bar{X}$. В слу­чае ка­че­ст­вен­но­го при­зна­ка  $D^2=M(N-M)/N^2$. О точ­но­сти оце­нок $m/n $ и $x $ су­дят по их дис­пер­си­ям $$D^2_{m/n}= \mathsf E \left (\frac{m}{n}-\frac{M}{N}\right)^2, \quad D^2_{\bar x}=\mathsf E (\bar{x}-\bar{X})^2,$$которые в терминах дисперсии конечной совокупности $D^2$ выражаются в виде отношений $D^2/n$  и $D^2/n$ (в слу­чае вы­бо­рок с по­вто­ре­ни­ем) и $D^2(N-n)/(n(N-1))$ (в слу­чае бес­по­втор­ных вы­бо­рок); здесь $\mathsf E$ – знак ма­те­ма­тич. ожи­да­ния. Т. к. во мно­гих прак­ти­че­ски ин­те­рес­ных за­да­чах слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $m/n $ и $\bar x$ при $n⩾30$ при­бли­жён­но под­чи­ня­ют­ся нор­маль­но­му рас­пре­де­ле­нию, то от­кло­не­ния $m/n$ от $M/N$ и $\bar x$ от $\bar X$, пре­вы­шаю­щие по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не $2D_{m/n}$ и $2 D_{\bar x}$ со­от­вет­ст­вен­но, мо­гут при $n⩾30$ осу­ще­ст­в­лять­ся в сред­нем при­бли­зи­тель­но в од­ном слу­чае из два­дца­ти.

Бо­лее пол­ную ин­фор­ма­цию о рас­пре­де­ле­нии ко­ли­че­ст­вен­но­го при­зна­ка в дан­ной со­во­куп­но­сти мож­но по­лу­чить с по­мо­щью эм­пи­рич. рас­пре­де­ле­ния это­го при­зна­ка в вы­бор­ке.

Выбор из бесконечной совокупности

 В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке вы­бор­кой при­ня­то на­зы­вать ре­зуль­та­ты к.-л. од­но­род­ных на­блю­де­ний, ча­ще все­го не­за­ви­си­мых. Пред­по­ла­га­ет­ся, что прин­ци­пи­аль­но мож­но осу­ще­ст­вить лю­бое чис­ло та­ких на­блю­де­ний. По­лу­чен­ные фак­тич. ре­зуль­та­ты счи­та­ют вы­бор­кой из бес­ко­неч­но­го мно­же­ст­ва воз­мож­ных ре­зуль­та­тов, на­зы­вае­мых ге­не­раль­ной со­во­куп­но­стью. 

По­ня­тие ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти не яв­ля­ет­ся ло­ги­че­ски безу­преч­ным и не­об­хо­ди­мым. Для ре­ше­ния прак­тич. за­дач нуж­на не са­ма бес­ко­неч­ная ге­не­раль­ная со­во­куп­ность, а лишь те или иные ха­рак­те­ри­сти­ки, ко­то­рые ей ста­вят­ся в со­от­вет­ст­вие. Эти ха­рак­те­ри­сти­ки с точ­ки зре­ния тео­рии ве­ро­ят­но­стей яв­ля­ют­ся чи­сло­вы­ми или функ­цио­наль­ны­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми не­ко­то­ро­го рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей, а эле­мен­ты вы­бор­ки – реа­ли­за­ция­ми слу­чай­ных ве­ли­чин, под­чи­няю­щих­ся это­му рас­пре­де­ле­нию. Та­кое ис­тол­ко­ва­ние по­зво­ля­ет рас­про­стра­нить на вы­бо­роч­ные оцен­ки об­щую тео­рию ста­ти­стич. оце­нок. По этой при­чи­не, напр., в ве­ро­ят­но­ст­ной тео­рии об­ра­бот­ки на­блю­де­ний по­ня­тие бес­ко­неч­ной ге­нераль­ной со­во­куп­но­сти за­ме­ня­ет­ся по­няти­ем рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей, со­дер­жа­ще­го не­из­вест­ные па­ра­мет­ры. Ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний трак­ту­ют­ся как экс­пе­ри­мен­таль­но на­блю­дае­мые зна­че­ния слу­чай­ных ве­ли­чин, под­чи­няю­щих­ся это­му рас­пре­де­ле­нию. Цель об­ра­бот­ки – вы­чис­ле­ние по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний ста­ти­стич. оце­нок для не­из­вест­ных па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния, в том или ином смыс­ле оп­ти­маль­ных.

Вы­ше речь шла о вы­бо­роч­ном об­сле­до­ва­нии од­ной со­во­куп­но­сти к.-л. объ­ек­тов. Од­на­ко прак­тич. при­ме­не­ние В. м. час­то осу­ще­ст­в­ля­ет­ся во мно­гих од­но­род­ных со­во­куп­но­стях (напр., при оцен­ке до­ли бра­ко­ван­ных из­де­лий в не­сколь­ких пар­ти­ях го­то­вой про­дук­ции). В этой си­туа­ции объ­ек­том изу­че­ния яв­ля­ет­ся не од­но чис­ло $M$, а неск. не­из­вест­ных чи­сел $M_1, M_2$, … . Пусть, напр., все об­сле­дуе­мые пар­тии го­то­вой про­дук­ции со­дер­жат по $N$ из­де­лий, при­чём $M_1, M_2$, … – ко­ли­че­ст­ва де­фект­ных из­де­лий в этих пар­ти­ях, а $m_1, m_2$, … – со­от­вет­ст­вую­щие ко­ли­че­ст­ва де­фект­ных из­де­лий, об­на­ру­жен­ных в вы­бор­ках од­но­го и то­го же объ­ё­ма $n$. Со­глас­но ус­ло­вию т. н. без­де­фект­ной при­ём­ки, пар­тия с но­ме­ром $i$ пе­ре­да­ёт­ся по­тре­би­те­лю, ес­ли $m_i=0$, в про­тив­ном слу­чае она бра­ку­ет­ся. Пред­по­ло­жим, что кон­троль из­де­лий со­пря­жён с их унич­то­же­ни­ем, и по­это­му по­тре­би­тель по­лу­ча­ет ли­бо пар­тию объ­ё­ма $R_i= 0 $ (при $m_i> 0$), ли­бо (при $m_i=0$) пар­тию объ­ё­ма $R_i=N-n$ с ко­ли­че­ст­вом де­фект­ных из­де­лий $D_i=M_i$, при­чём зна­че­ния $R_1, R_2,$ … из­вест­ны, а зна­че­ние $D_1+D_2+$… не­из­вест­но. От­но­ше­ние $(D_1+D_2+…) / (R_1+R_2+…)$ на­зы­ва­ют до­лей про­пу­щен­но­го бра­ка, а его ма­те­ма­тич. ожи­да­ние $g $ – сред­ней до­лей про­пу­щен­но­го бра­ка. За­да­ча ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки за­клю­ча­ет­ся в оцен­ке $g$ по зна­че­ни­ям $R_1, R_2$, …, за­фик­си­ро­ван­ным в ре­зуль­та­те при­ме­не­ния В. м. Ес­ли зна­че­ния $M_1, M_2$, … мож­но трак­то­вать как реа­ли­за­ции не­за­ви­си­мых оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных слу­чай­ных ве­ли­чин с из­вест­ным за­ко­ном рас­пре­де­ле­ния, за­да­вае­мым ве­ро­ят­но­стя­ми $\mathsf P\{M_i=r\}=p_r, r= 0, 1, ..., N,$ то, со­глас­но фор­му­ле Бей­е­са, ста­ти­стич. оцен­ка $\tilde D$ сред­не­го чис­ла про­пу­щен­ных де­фект­ных из­де­лий в при­ня­тых пар­ти­ях вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $$\tilde {D}= \mathsf E \{M\vert m=0\}=\left(\sum\nolimits_{r=1}^{N-n} r\frac{C_{N-r}^n}{C_N^n}p_r\right)\bigg /\mathsf P\{m=0\},$$где $C_m^k$ для це­лых не­от­ри­ца­тель­ных $m$ и $k$ оз­на­ча­ет чис­ло со­че­та­ний из $m$ по $k$, при этом $$\tilde D ⩽ \frac{(N-n)\mathsf P\{m=1\}}{n \mathsf P\{m=0\}},$$где $$\mathsf P\{m=k\}=\sum\nolimits_{r=0}^{N-n}\frac{C_r^kC_{N-r}^n}{C_N^n}p_r, \quad k=0,1\dots .$$По­это­му оцен­ка  $$\tilde g = \frac{\tilde D}{(N-n)}$$сред­ней до­ли про­пу­щен­но­го бра­ка в при­ня­тых пар­ти­ях удов­ле­тво­ря­ет не­ра­вен­ст­ву$$\tilde g ⩽ \frac{\mathsf P\{m=1\}}{n\mathsf P\{m=0\}}\approx\frac{s_1}{ns_0},$$ где $s_0 $– чис­ло при­ня­тых пар­тий, а $s_1$ – чис­ло тех за­бра­ко­ван­ных пар­тий, в вы­бор­ках из ко­то­рых об­на­ру­же­но ров­но од­но де­фект­ное из­де­лие.