ОБЪЁМ

ОБЪЁМ, од­на из ос­нов­ных ве­ли­чин, свя­зан­ная с гео­мет­ри­че­ски­ми те­ла­ми. В про­стей­ших слу­ча­ях из­ме­ря­ет­ся чис­лом уме­щаю­щих­ся в те­ле еди­нич­ных ку­бов, т. е. ку­бов с рёб­ра­ми, рав­ны­ми еди­ни­це дли­ны. В СИ О. измеряется в м³.

За­да­ча вы­чис­ле­ния О. про­стей­ших тел, иду­щая от прак­тич. по­треб­но­стей, бы­ла од­ним из сти­му­лов раз­ви­тия гео­мет­рии. Ма­те­ма­ти­ка Древ­не­го Вос­то­ка (Ва­ви­ло­ния, Еги­пет) рас­по­ла­га­ла ря­дом пра­вил (б. ч. эм­пи­ри­че­ских) для вы­чис­ле­ния О. тел, с ко­то­ры­ми ча­ще все­го при­хо­ди­лось встре­чать­ся на прак­ти­ке (напр., приз­ма­тич. брусь­ев, пи­ра­мид пол­ных и усе­чён­ных, ци­лин­д­ров). Сре­ди фор­мул для вы­чис­ле­ния О. бы­ли и не­точ­ные, да­вав­шие не слиш­ком за­мет­ную ошиб­ку лишь в пре­де­лах упот­ре­би­тель­ных раз­ме­ров те­ла. Греч. ма­те­ма­ти­ка по­след­них сто­ле­тий до н. э. ос­во­бо­ди­ла тео­рию вы­чис­ле­ния О. от при­бли­жён­ных эм­пи­рич. пра­вил. В «На­ча­лах» Евк­ли­да и в со­чи­не­ни­ях Ар­хи­ме­да име­ют­ся толь­ко точ­ные пра­ви­ла для вы­чис­ле­ния О. мно­го­гран­ни­ков и не­ко­то­рых круг­лых тел (ци­лин­д­ра, ко­ну­са, ша­ра и их час­тей). При этом в соз­да­нии уче­ния об О. мно­го­гран­ни­ков греч. ма­те­ма­ти­ки долж­ны бы­ли пре­одо­леть зна­чит. труд­но­сти, су­ще­ст­вен­но от­ли­чаю­щие этот раз­дел гео­мет­рии от род­ст­вен­но­го ему раз­де­ла о пло­ща­дях мно­го­уголь­ни­ков. Ис­точ­ник раз­ли­чия, как вы­яс­ни­лось лишь в нач. 20 в., со­сто­ит в сле­дую­щем: в то вре­мя как вся­кий мно­го­уголь­ник мож­но по­сред­ст­вом над­ле­жа­щих пря­мо­ли­ней­ных раз­ре­зов и пе­ре­кла­ды­ва­ния по­лу­чен­ных час­тей «пе­ре­кро­ить» в квад­рат, ана­ло­гич­ное пре­об­ра­зо­ва­ние (по­сред­ст­вом пло­ских раз­ре­зов) про­из­воль­но­го мно­го­гран­ни­ка в куб ока­зы­ва­ет­ся, во­об­ще го­во­ря, не­воз­мож­ным (тео­ре­ма Де­на, 1901). От­сю­да ста­но­вит­ся яс­ным, по­че­му Евк­лид уже в слу­чае тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды был вы­ну­ж­ден при­бег­нуть к бес­ко­неч­но­му про­цес­су по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний, поль­зу­ясь при до­ка­за­тель­ст­ве ­ис­черпы­ва­ния ме­то­дом. Бес­ко­неч­ный про­цесс ле­жит и в ос­но­ве совр. трак­тов­ки из­ме­ре­ния О., сво­дя­щей­ся к сле­дую­ще­му. Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные мно­го­гран­ни­ки, впи­сан­ные в те­ло $K$, и все­воз­мож­ные мно­го­гран­ни­ки, опи­сан­ные во­круг те­ла $K$. Вы­чис­ле­ние О. мно­го­гран­ни­ка сво­дит­ся к вы­чис­ле­нию О. со­став­ляю­щих его тет­ра­эд­ров (тре­уголь­ных пи­ра­мид). Пусть {$V_α$} – мно­же­ст­во чи­сел, со­стоя­щее из О. впи­сан­ных в те­ло мно­го­гран­ни­ков, а {$V_β$} – мно­же­ст­во чи­сел, со­стоя­щее из О. опи­сан­ных во­круг те­ла $K $мно­го­гран­ни­ков. Мно­же­ст­во {$V_α$} ог­ра­ни­че­но свер­ху (напр., О. лю­бо­го опи­сан­но­го мно­го­гран­ни­ка), а мно­же­ст­во {$V_β$ } ог­ра­ни­че­но сни­зу (напр., чис­лом нуль). Наи­мень­шее из чи­сел, ог­ра­ни­чи­ваю­щее свер­ху мно­же­ст­во {$V_α$}, на­зы­ва­ет­ся ниж­ним О. $\underline V$ те­ла $K$, а наи­боль­шее из чи­сел, ог­ра­ни­чи­ваю­щее сни­зу мно­же­ст­во {$V_β$}, на­зы­ва­ет­ся верх­ним О. $\overline V$ те­ла $K$. Ес­ли верх­ний О. те­ла $K$ сов­па­да­ет с его ниж­ним О. $\underline V$ , то чис­ло $V=\overline V= \underline V$ на­зы­ва­ет­ся объ­ё­мом те­ла $K$, а са­мо те­ло – ку­би­руе­мым те­лом. Для то­го что­бы те­ло бы­ло ку­би­руе­мым, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы для лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла $ε$ мож­но бы­ло ука­зать та­кой опи­сан­ный во­круг те­ла мно­го­гран­ник и та­кой впи­сан­ный в те­ло мно­го­гран­ник, раз­ность $V_β-V_α$ О. ко­то­рых бы­ла бы мень­ше $ε$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ана­ли­ти­че­ски О. мо­жет быть вы­ра­жен с по­мо­щью крат­ных ин­те­гра­лов. Пусть те­ло $K$ (рис. 1) ог­ра­ни­че­но ци­лин­д­рич. по­верх­но­стью с па­рал­лель­ны­ми оси $Oz$ об­ра­зую­щи­ми, квад­ри­руе­мой об­ла­стью $M$ плос­ко­сти $Oxy$ и по­верх­но­стью $z=f(x,y)$, ко­то­рую лю­бая па­рал­лель к об­ра­зую­щей ци­лин­д­ра пе­ре­се­ка­ет в од­ной и толь­ко в од­ной точ­ке. О. та­ко­го те­ла мо­жет быть вы­чис­лен с по­мо­щью двой­но­го ин­те­гра­ла$$v={\iint}_M f(x,y)dxdy.$$О. те­ла, ог­ра­ни­чен­но­го замк­ну­той по­верх­но­стью, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет­ся с па­рал­ле­ля­ми к оси $Oz$ не бо­лее чем в двух точ­ках, мо­жет быть вы­чис­лен как раз­ность О. двух тел, по­доб­ных пред­ше­ст­вую­ще­му. В об­щем слу­чае О. те­ла мо­жет быть вы­ра­жен в ви­де трой­но­го ин­те­гра­ла $$v=\iiint \ dxdydz,$$где ин­тег­ри­ро­ва­ние рас­про­стра­ня­ет­ся на часть про­стран­ст­ва, за­ня­тую те­лом. Ино­гда удоб­но вы­чис­лять О. тел че­рез его по­пе­реч­ные се­че­ния. Пусть те­ло, со­дер­жа­щее­ся ме­ж­ду плос­ко­стя­ми $z=a$ и $z=b$, $b>a$, рас­се­ка­ет­ся плос­ко­стя­ми, па­рал­лель­ны­ми оси $Oz$ (рис. 2). Ес­ли все се­че­ния те­ла квад­ри­руе­мы и пло­щадь се­че­ния $S=S(z$) – не­пре­рыв­ная функ­ция $z$, то О. те­ла мо­жет быть вы­ра­жен ин­те­гра­лом$$V=\int^{b}_{a}S(z)dz.$$

Ис­то­ри­че­ски сло­жи­лось так, что за­дол­го до соз­да­ния ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния опе­ра­ция ин­тег­ри­ро­ва­ния фак­ти­че­ски при­ме­ня­лась (в разл. гео­мет­рич. фор­мах) к вы­чис­ле­нию О. про­стей­ших тел (пи­ра­ми­ды, ша­ра, разл. тел вра­ще­ния), чем и бы­ла под­го­тов­ле­на поч­ва для оформ­ле­ния это­го ис­чис­ле­ния в 17–18 вв.

Об обоб­ще­ни­ях по­ня­тия О. см. в ст. Ме­ра мно­же­ст­ва.