НЕРА́ВЕНСТВА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЕРА́ВЕНСТВА, отношения, связывающие два числа $a$ и $b$ посредством одного из знаков: $<$ (меньше), $⩽$ (меньше или равно), $>$ (больше), $⩾$ (больше или равно), $≠$ (не равно), т. е. $$a < b,\; a ⩽ b,\; a > b,\; a ⩾ b,\; a ≠ b.$$ Иногда несколько Н. записывают вместе, напр. $a < b < c$.
Н. обладают мн. свойствами, общими с равенствами. Так, Н. остаётся справедливым, если к его обеим частям добавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число. Точно так же можно умножить обе части Н. на одно и то же положительное число. Однако если обе части Н. умножить на отрицательное число, то смысл Н. (кроме Н. $≠$) изменится на противоположный (знак $<$ заменяется на $>$, а знак $>$ – на $<$). Члены Н. можно переносить из одной части в другую с изменением знака, напр. Н. $a+b < c$ эквивалентно Н. $a < c - b$. Из Н. $a < b$ и $c < d$ следует $a+c < b+d$ и $a-d < b-c$, т. е. одноимённые Н. ($a < b$ и $c < d$) можно почленно складывать, а разноимённые Н. ($a < b$ и $d > c$) – почленно вычитать. Если числа $a, b, c$ и $d$ положительны, то из Н. $a < b$$c < d$ и следует также $ac < bd$ и $\frac {a}{d} < \frac {b}{c}$, т. е. одноимённые Н. (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноимённые – почленно делить.
Н., в которые входят величины, принимающие разл. числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, Н. $x^2-4x+3 > 0$ верно при $x=4$ и неверно при $x=2$. Для Н. этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в Н. величины для того, чтобы Н. были справедливы. Так, переписывая Н. $x^2-4x+3 > 0$ в виде $(x-1)(x-3) > 0$, можно заметить, что оно будет верно для всех $x$, для которых либо $x < 1$, либо $x > 3$; эти Н. и являются решением исходного неравенства.
Ниже приводятся одни из самых известных неравенств.
Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ справедливо Н. $$|a_1+a_2+...+a_n| ⩽ |a_1|+|a_2|+...+|a_n|.$$
Неравенства для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное средние:$$\frac{n}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+\dots+a_n^{-1}} ⩽ \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} ⩽ \frac{a_1+a_2+\dots + a_n}{n} ⩽ \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\dots + a_n^2}{n}};$$
здесь все числа $a_1, a_2, ..., a_n$ положительны.
Неравенства для сумм и их интегральные аналоги. Таковы, напр., Буняковского неравенство, Гёльдера неравенство, Коши неравенство, Минковского неравенство.
Неравенства для некоторых классов последовательностей и функций. Примером может служить Чебышева неравенство для монотонных числовых последовательностей и функций.
В линейном программировании ограничения на неизвестные $x_1, x_2, ..., x_n$ часто задаются в виде системы Н.
$$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{in}x_n ⩽ b_i,$$
$$i=1, 2, ..., m.$$
Н. имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины – диофантовы приближения – полностью основан на Н., аналитич. теория чисел тоже часто оперирует с Н. В геометрии Н. постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрич. задаче (см. Изопериметрическое неравенство). В теории вероятностей многие утверждения формулируются с помощью Н. (напр., неравенство Чебышева для вероятности отклонения случайной величины от её математич. ожидания). В функциональном анализе определение нормы в линейном пространстве включает условие $\left \|x+y\right \| ⩽ \left \|x\right \|+\left \|y\right \|$, которое иногда называют аксиомой треугольника. В вычислит. математике Н. применяются для оценки погрешности приближённого решения задачи.