НАИЛУ́ЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕ́НИЕ

НАИЛУ́ЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕ́НИЕ, по­ня­тие тео­рии при­бли­же­ния функ­ций. Пусть $f(x)$ – не­пре­рыв­ная функ­ция, за­дан­ная на не­ко­то­ром от­рез­ке $[a, b]$, a $g_1(x), g_2(x), ..., g_n(x)$ – фик­си­ро­ван­ная сис­те­ма не­пре­рыв­ных функ­ций на том же от­рез­ке. То­гда мак­си­мум вы­ра­же­ния $$|f(x)-a_1g_1(x)-a_2g_2(x)- ...-a_ng_n(x)|\tag{*}$$ по $x∈ [a, b]$ на­зы­ва­ет­ся ук­ло­не­ни­ем функ­ции $f(x)$ от по­ли­но­ма $$P_n(x)=a_1g_1(x)+a_2g_2(x)+...+a_ng_n(x),$$ а ми­ни­мум ук­ло­не­ния по все­воз­мож­ным по­ли­но­мам $P_n(x)$ (т. е. по все­воз­мож­ным на­бо­рам ко­эф­фи­ци­ен­тов $a_1, \, a_2, ..., \,a_n$) – Н. п. функ­ции $f(x)$ по­сред­ст­вом сис­те­мы $g_1(x), \,g_2(x), ..., \,g_n(x)$; Н. п. обо­зна­ча­ют $E_n(f,g)$. Та­ким об­ра­зом, Н. п. яв­ля­ет­ся ми­ни­му­мом мак­си­му­ма или, как го­во­рят, ми­ни­мак­сом.

По­ли­ном $P_n^*(x; \,f)$, для ко­то­ро­го ук­ло­не­ние от функ­ции $f(x)$ рав­но Н. п. (та­кой по­ли­ном все­гда су­ще­ст­ву­ет), на­зы­ва­ет­ся по­ли­но­мом, наи­ме­нее ук­ло­няю­щим­ся от функ­ции $f(x)$ (на от­рез­ке $[a,b]$).

По­ня­тия Н. п. и по­ли­но­ма, наи­ме­нее ук­ло­няю­ще­го­ся от функ­ции $f(x)$, бы­ли впер­вые вве­де­ны П. Л. Че­бы­ше­вым (1854) в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми по тео­рии ме­ха­низ­мов. Н. п. мож­но так­же рас­смат­ри­вать, ко­гда под ук­ло­не­ни­ем функ­ции $f(x)$ от по­ли­но­ма $P_n(x)$ по­ни­ма­ет­ся не мак­си­мум вы­ра­же­ния $(*)$, а, напр., $$\sqrt{\int_a^b[f(x)-P_n(x)]^2dx}.$$

.