МНОГОКРИТЕРИА́ЛЬНАЯ ОПТИМИЗА́ЦИЯ

МНОГОКРИТЕРИА́ЛЬНАЯ ОПТИ­МИЗА́­ЦИЯ, по­иск оп­ти­маль­но­го ре­ше­ния при на­ли­чии не­сколь­ких кри­те­ри­ев оп­ти­маль­но­сти. Эти кри­те­рии мо­гут от­ра­жать разл. ка­че­ст­ва объ­ек­тов или про­цес­сов, по по­во­ду ко­то­рых при­ни­ма­ет­ся ре­ше­ние, или оцен­ки од­ной и той же ха­рак­те­ри­сти­ки объ­ек­та или про­цес­са, но с разл. то­чек зре­ния. Ме­то­ды М. о. от­но­сят­ся к ма­те­ма­тич. ме­то­дам ис­сле­до­ва­ния опе­ра­ций.

Пусть $G$ – не­ко­то­рое мно­же­ст­во, эле­мен­ты ко­то­ро­го на­зы­ва­ют­ся до­пус­ти­мы­ми ре­ше­ния­ми или аль­тер­на­ти­ва­ми, а $f_1,...,f_p$ – чи­сло­вые функ­ции (це­ле­вые функ­ции, кри­те­рии), за­дан­ные на мно­же­ст­ве $G$. Тре­бу­ет­ся оп­ти­ми­зи­ро­вать (мак­си­ми­зи­ро­вать или ми­ни­ми­зи­ро­вать) функ­ции $f_1,...,f_p$ на мно­же­ст­ве $G$. Од­на­ко по­сколь­ку неск. функ­ций, во­об­ще го­во­ря, дос­ти­га­ют экс­тре­му­ма в разл. точ­ках, та­кая по­ста­нов­ка за­да­чи не впол­не кор­рект­на, и са­мо по­ня­тие оп­ти­маль­но­го ре­ше­ния долж­но быть мо­ди­фи­ци­ро­ва­но. Под ре­ше­ни­ем за­да­чи М. о. обыч­но по­ни­ма­ют под­мно­же­ст­во $G^*⊂G$ та­кое, что зна­че­ния $f_1,...,f_p$ на $G^*$ от­ве­ча­ют ин­туи­тив­ным пред­став­ле­ни­ям о «наи­луч­ших» зна­че­ни­ях этих функ­ций. Эти ин­туи­тив­ные пред­став­ле­ния фор­ма­ли­зу­ют­ся по-раз­но­му в разл. прин­ци­пах оп­ти­маль­но­сти.

Од­ним из наи­бо­лее ес­те­ст­вен­ных яв­ля­ет­ся прин­цип оп­ти­маль­но­сти по Па­ре­то. Точ­ка $x^*∈G$ на­зы­ва­ет­ся эф­фек­тив­ной или оп­ти­маль­ной по Па­ре­то (для за­да­чи мак­си­ми­за­ции), ес­ли не су­ще­ст­ву­ет точ­ки $y∈G$, для ко­то­рой $$f_i(y)⩾f_i(x^*), \quad i=1,...,p,$$ при­чём хо­тя бы для од­но­го $i$ не­ра­вен­ство яв­ля­ет­ся стро­гим (в слу­чае за­да­чи ми­ни­ми­за­ции зна­ки не­ра­венств ме­ня­ют­ся на об­рат­ные). Во мно­гих слу­ча­ях мно­же­ст­во эф­фек­тив­ных то­чек ока­зы­ва­ет­ся весь­ма об­шир­ным, что за­труд­ня­ет вы­бор кон­крет­но­го ре­ше­ния и тре­бу­ет вве­де­ния не­ко­то­рых «вто­рич­ных» прин­ци­пов оп­ти­маль­но­сти.

В М. о. час­то ис­поль­зу­ет­ся прин­цип свёрт­ки, т. е. ста­вит­ся за­да­ча об оп­ти­ми­за­ции не­ко­то­рой функ­ции $F(f_1,...,f_p)$ от за­дан­ных кри­те­ри­ев, мо­но­тон­ной по ка­ж­до­му из ар­гу­мен­тов. Наи­бо­лее из­вест­ны­ми ча­ст­ны­ми слу­чая­ми яв­ля­ют­ся взве­шен­ная сум­ма $$F=\sum\nolimits_{i=1}^pλ_if_i, \quad λ_i⩾0, \quad \sum\nolimits_{i=1}^pλ_i=1,$$ и ми­ним. ком­по­нен­та $F=\text {min}f_i$.

Ино­гда мож­но вы­де­лить один «глав­ный» кри­те­рий $f_{i_0}$ и вме­сто ис­ход­ной зада­чи рас­смат­ри­вать за­да­чу оп­ти­ми­за­ции $f_{i_0}(x)$ по мно­же­ст­ву $G$. Ес­ли при этом мно­же­ст­во $G_{i_ 0}$ , на ко­то­ром дос­тига­ет­ся мак­си­мум $f_{i_0}(x)$, со­сто­ит бо­лее чем из од­ной точ­ки, то вы­бор аль­тер­на­ти­вы из $G_{i_ 0}$ осу­ще­ст­в­ля­ет­ся пу­тём ре­ше­ния за­да­чи М. о. с кри­те­рия­ми $f_i, i≠i_0$, на мно­же­ст­ве $G_{i_ 0}$. При дру­гом под­хо­де оп­ти­ми­за­ция гл. кри­те­рия про­из­во­дит­ся не на всём мно­же­ст­ве $G$, а на его под­мно­же­ст­ве, оп­ре­де­ляе­мом ог­ра­ни­че­ния­ми ви­да $f_i(x)⩾α_i, i≠i_0$, на зна­че­ния ос­таль­ных кри­те­ри­ев, где $α_i$ – не­ко­то­рые (ми­ни­маль­ные) уров­ни. За­да­ча М. о., в ко­то­рой для кри­те­ри­ев $f_i$ за­да­ны их «же­ла­тель­ные уров­ни» $β_i, i=1,...,p$, и тре­бу­ет­ся ми­ни­ми­зи­ро­вать взве­шен­ную сум­му от­кло­не­ний $f_i$ от $β_i$, на­зы­ва­ет­ся за­да­чей це­ле­во­го про­грам­ми­ро­ва­ния.