МАТЬЁ ФУ́НКЦИИ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МАТЬЁ ФУ́НКЦИИ, $2π$-периодич. решения уравнения Матьё $$\frac{d^2 u}{d z^2}+(\lambda +16q\:\textrm{cos}\:2z)u=0,\:-\infty < z < \infty .$$
Периодич. решения этого уравнения существуют только тогда, когда точка $(λ, q)$ на плоскости параметров лежит на границе зон устойчивости. Условие периодичности решения определяет ряд возможных значений $λ$, зависящих от $q$. Если $q=0$, то $λ=n^2,\: n=1,2, ...,$ и М. ф. в этом случае являются $\textrm{cos}\:nz$ и $\textrm{sin}\:nz$. При $q ≠ 0$ М. ф. обозначают $ce_n(z,q), se_n(z,q)$, они представляются в виде $$ce_n(z,q)=\sum_{k=0}^{\infty }a_k^n \textrm{cos}(2k+\varepsilon )z,$$
$$se_n(z,q)=\sum_{k=0}^{\infty }b_k^n \textrm{cos}(2k+\varepsilon )z,$$
где коэффициенты $a_k^n$ и $b_k^n$ зависят от $q,\: ε= 0$ при чётном $n$ и $ε= 1$ при нечётном $n$.
М. ф. введены франц. математиком Э. Матьё (1868) при решении задач о колебании эллиптич. мембраны. Они применяются также при исследовании распространения электромагнитных волн в эллиптич. цилиндре, при изучении волн в сосуде и ряда др. вопросов.