МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ ЭКОНО́МИКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ ЭКОНО́МИКА, раздел математики, в котором объектом изучения являются математич. модели экономики. Эти модели классифицируются по разным признакам, напр. по масштабу, области применения, сектору экономики.
Среди первых работ, относящихся к М. э., – труды Ф. Кенэ, предложившего модель сельскохозяйственной экономики, и сочинение Т. Мальтуса «Опыт о законе народонаселения...» (1798). Формально считается, что М. э. началась с работ М. Э. Л. Вальраса, чётко сформулировавшего понятие рыночного равновесия, и В. Парето, который ввёл понятие оптимального состояния, ныне называемого Парето-оптимальным состоянием.
Среди вопросов, изучаемых в М. э., – математич. формализация понятий экономики и анализ их непротиворечивости. Это, напр., такие понятия, как спрос, предложение, рынок, рыночное равновесие, прибыль, эффективность, монополия. Важную роль в М. э. играет анализ теорий, предложенных экономистами, с помощью математич. методов.
Особых успехов М. э. достигла в двух направлениях. Первое направление – развитие экономики благосостояния. Так называется математич. модель экономики, в которой обеспечивается макс. значение некоторого глобального критерия – функции всеобщего благосостояния. Как правило, функция всеобщего благосостояния определяется через индивидуальные функции благосостояния. Напр., глобальным критерием может быть взвешенная сумма $U=Σα_iu_i$, где $u_i$ – обозначение для индивидуальной функции благосостояния, $α_i$ – вес гражданина в этом обществе, а суммирование проводится по всем членам общества. Второе направление, получившее назв. «мэйн стрим», – развитие общей модели рыночной экономики, в наиболее общем и удобном виде сформулированной К. Дж. Эрроу и Дж. Дебрё. В их исходной модели действующими лицами были производители продукции и её потребители, которые вступали в рыночные отношения. Первые стремились максимизировать прибыль, вторые – индивидуальные функции полезности. Рыночные отношения порождают цены, которые уравнивают спрос и предложение. Было доказано существование рыночного равновесия при достаточно общих условиях и показано, что состояние равновесия является оптимальным с точки зрения некоторого общего критерия, т. е. в этой модели рынок приводит к всеобщему благосостоянию. В дальнейшем было обнаружено, что условия, при которых данное утверждение верно, являются очень узкими, редко встречающимися в действительности.
Считается, что настоящее развитие М. э. началось с работ Дж. фон Неймана, а также англ. математика Ф. П. Рамси, который предложил в 1920-х гг. однопродуктовую модель экономики с бесконечным временны́м интервалом. С помощью этой модели была решена проблема оптимального распределения произведённого продукта на потребление и накопление с учётом интересов будущих поколений. Нейман предложил модель расширяющейся экономики, ввёл понятие магистрали и доказал её существование. В 1939 появилась работа Л. В. Канторовича, в которой была сформулирована задача линейного программирования и предложен метод её решения. Эта работа стала математич. основанием теории экономики благосостояния, а также плановой экономики социализма. В 1944 опубликована монография Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», с которой началось применение теории игр в М. э. В дальнейшем теория игр использовалась в работах Дж. Нэша, Эрроу и Дебрё. Из теории игр в М. э. перешло понятие ядра (в данном случае ядра экономики) как множества таких состояний экономики, которые не блокируются никакими коалициями (подэкономиками). В 1960-е гг. Р. Оманном получен результат, состоящий в том, что ядро совпадает с множеством рыночных равновесий при условии, что экономич. агентов бесконечно много и ни один из них не находится в монопольном положении. Тогда же появились теоремы о магистрали, утверждавшие, что любая оптимальная траектория развития экономики, из какого бы начального состояния она ни выходила, с течением времени стремится к магистрали. В те же годы возросло число работ, где математич. модели экономики использовались для практич. целей. Наибольшую популярность получила разработанная в 1930-е гг. модель В. В. Леонтьева, связанная с балансом межотраслевым; этот баланс составляется статистич. органами мн. стран как основа для разл. расчётов. В таких расчётах стали доминировать методы эконометрики, которые обычно не относят к математич. экономике.
Некоторые математич. модели экономики развивались с учётом нерыночной составляющей. Это прежде всего публичные блага, в число которых входят услуги государства, образование и здравоохранение, а также знания. Публичные блага, в отличие от частных, нельзя получить индивидуально, их производство и потребление осуществляются коллективно. Задачи расчёта оптимального производства публичных благ по сравнению с частными рассматривались в работах П. Самуэльсона (1954), англ. экономиста Э. Аткинсона и Дж. Стиглица (1980). В работе амер. экономиста Ч. Тибу (1956) была предложена схема, показывающая, как можно публичные (и вообще коллективные) блага выбирать индивидуально. Это т. н. «голосование ногами», когда гражданин выбирает место для проживания, в котором предоставляемые публичные блага для него подходят лучше всего. По схеме Тибу опубликованы мн. работы, в т. ч. посвящённые нахождению условий, при которых равновесие существует и является в том или ином смысле оптимальным. В частности, в работе амер. учёного Т. Ф. Бьюли (1981) показано, что равновесие существует лишь при весьма жёстких условиях. Схема Тибу была распространена с юрисдикций (стран, регионов) на др. институты: клубы, политич. партии, коммуны, фирмы и пр.
Ещё одно расширение модели Эрроу – Дебрё, включающее нерыночную составляющую, получило название смешанной, или двухпутной, экономики. Напр., в модель плановой экономики вводилась т. н. теневая экономика и в результате получалась смешанная экономика, в которой действуют два механизма – плановый и рыночный. В дальнейшем эти модели модифицировались в модели переходной экономики, примером которой является кит. экономика. Ещё один вариант включения нерыночной составляющей – введение рационирования. Фиксируются некоторые нормы потребления, в рамках нормы действуют гос. цены, в т. ч. нулевые, сверх нормы – рыночные цены. Таким образом получается двухслойная экономика. Эта модель описывает практически все существующие экономики мира. В одних экономиках нерыночный слой (напр., образование, здравоохранение) больше, в других меньше.
Большой раздел М. э. называется новой политич. экономией. Здесь рассматриваются математич. модели экономики с учётом политич. системы. В частности, сравнивается эффективность президентского, парламентского, тоталитарного правления и их вариантов, изучаются разл. схемы голосования и, более общо, группового выбора. Начало таким исследованиям было положено Э. Даунсом (1957), предложившим модель, которую иногда называют краеугольным камнем экономич. теории демократии.
В 1960-е гг. во мн. странах, в т. ч. в СССР, активно использовалась модель Леонтьева. Затем в практич. деятельности правительств, корпораций, центр. банков стали чаще использоваться модели общего экономич. равновесия, в основе которых лежит модель Эрроу – Дебрё. С их помощью рассчитываются, в частности, уровни цен и курсы валют. Развиваются и малоразмерные модели, первые из которых были предложены Ф. П. Рамси. С их помощью делаются прогнозы на длительную перспективу. В качестве примера можно привести модели мировой динамики, начало которых связано с деятельностью Римского клуба. Такие модели лежат в основе теории устойчивого развития.
В М. э. применяются разл. методы исследования. Модели, связанные с оптимизацией, используют методы исследования операций, вариационного исчисления, комбинаторного анализа и Понтрягина принцип максимума. При исследовании моделей рыночной экономики используются элементы топологии, методы теории динамических систем, некоторые результаты алгебраической геометрии. В М. э. применяются также методы теории вероятностей, в частности, используются стохастич. процессы и стохастические дифференциальные уравнения.
Усложнение математич. моделей с целью их приближения к реальности приводит к всё большим трудностям в получении математич. результатов. В связи с этим повышается интерес к компьютерным моделям, имитирующим реальность. Здесь математич. результат уступает место компьютерным экспериментам, при этом место теорем занимает обработка и интерпретация численных расчётов.