ЛОГИСТИ́ЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

ЛОГИСТИ́ЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, не­пре­рыв­ное, со­сре­до­то­чен­ное на $(–∞, ∞)$ рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей с плот­но­стью $$p(x)=\frac{1}{4\beta \text{ch}^2((x-\alpha)/(2\beta))},$$где $α, β$ – па­ра­мет­ры, $-∞$<$α$<$∞$, $β$>0. Функ­ция рас­пре­де­ле­ния Л. р. есть$$F(x)=\frac{1}{1+ \text{exp}(-(x-\alpha)/\beta)}.$$

Л. р. сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но сво­его ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $α$; его дис­пер­сия рав­на $π^2β^2/3$, ха­рак­те­ри­стич. функ­ция $f(t)=e^{iαt}πβt/\text{sh}(πβt)$.

Л. р. из­вест­но в свя­зи с мно­го­чис­лен­ны­ми (не все­гда обос­но­ван­ны­ми) по­пыт­ка­ми его при­ме­не­ния для опи­са­ния раз­но­об­раз­ных за­ко­нов раз­ви­тия в био­ло­гии, эко­но­ми­ке, со­цио­ло­гии. Л. р. ма­ло от­ли­ча­ет­ся от нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния, в не­ко­то­рых слу­ча­ях Л. р. ока­зы­ва­ет­ся удоб­нее его и ис­поль­зу­ет­ся в ста­ти­стич. ис­сле­до­ва­ни­ях ме­ди­ко-био­ло­гич. объ­ек­тов.

Л. р. свя­за­но с рав­но­мер­ным рас­пре­де­ле­ни­ем: ес­ли $Z$ – слу­чай­ная ве­ли­чи­на, имею­щая рав­но­мер­ное на ин­тер­ва­ле рас­пре­де­ле­ние, то слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X=α+β\text{ln}Z/(1-Z)$ име­ет Л. р. с па­ра­мет­ра­ми $α$ и $β$. Эта связь мо­жет быть ис­поль­зо­ва­на при мо­де­ли­ро­ва­нии слу­чай­ных ве­ли­чин с ло­ги­стич. рас­пре­де­ле­ни­ем.