ЛИНЕ́ЙЧАТАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ

ЛИНЕ́ЙЧАТАЯ ПОВЕ́РХНОСТЬ, по­верх­ность, об­ра­зуе­мая со­во­куп­но­стью пря­мых, за­ви­ся­щих от од­но­го па­ра­мет­ра. Л. п. мож­но опи­сать дви­же­ни­ем пря­мой (об­ра­зую­щей) по не­ко­то­рой ли­нии (на­прав­ляю­щей). Л. п. раз­де­ля­ют­ся на раз­вёр­ты­ваю­щие­ся и ко­сые.

Рис. 1.

Раз­вёр­ты­ваю­щие­ся Л. п. мо­гут быть по­сред­ст­вом из­ги­ба­ния на­ло­же­ны на плос­кость. Лю­бая раз­вёр­ты­ваю­щая­ся по­верх­ность яв­ля­ет­ся ли­бо ци­лин­дром, ли­бо ко­ну­сом, ли­бо по­верх­но­стью, со­стоя­щей из ка­са­тель­ных к не­ко­то­рой про­стран­ст­вен­ной кри­вой $L$ (рис. 1). Эту кри­вую на­зы­ва­ют реб­ром воз­вра­та раз­вёр­ты­ваю­щей­ся по­верх­но­сти. Плос­кость $P$, пе­ре­се­каю­щая реб­ро воз­вра­та $L$, об­ра­зу­ет в се­че­нии с по­верх­но­стью кри­вую $ABC$ с точ­кой воз­вра­та $B$. Реб­ро воз­вра­та яв­ля­ет­ся осо­бой ли­ни­ей раз­вёр­ты­ваю­щей­ся по­верх­но­сти, вдоль ко­то­рой две её по­ло­сти $S_1$ и $S_2$ ка­са­ют­ся друг дру­га. Раз­вёр­ты­ваю­щие­ся по­верх­но­сти ха­рак­те­ри­зу­ют­ся так­же тем, что ка­са­тель­ная плос­кость к ним в разл. точ­ках од­ной и той же об­ра­зую­щей не­из­мен­на. Со­во­куп­ность всех ка­са­тель­ных плос­ко­стей раз­вёр­ты­ваю­щей­ся Л. п. пред­став­ля­ет со­бой од­но­пара­мет­рич. се­мей­ст­во. Ина­че го­во­ря, раз­вёр­ты­ваю­щая­ся Л. п. яв­ля­ет­ся оги­баю­щей од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­ва плос­ко­стей.

Рис. 2.

У ко­сой Л. п. ка­са­тель­ные плос­ко­сти в разл. точ­ках од­ной и той же об­ра­зую­щей раз­лич­ны. При пе­ре­ме­ще­нии точ­ки ка­са­ния вдоль об­ра­зую­щей ка­са­тель­ная плос­кость вра­ща­ет­ся во­круг об­ра­зую­щей. Пол­ный по­во­рот ка­са­тель­ной плос­ко­сти, ко­гда точ­ка ка­са­ния про­хо­дит всю об­ра­зую­щую, ра­вен 180°. На ка­ж­дой об­ра­зую­щей име­ет­ся точ­ка та­кая, что для ка­ж­дой из двух час­тей, на ко­то­рые она де­лит об­ра­зую­щую, пол­ный по­во­рот ка­са­тель­ной плос­ко­сти ра­вен 90°. Эту точ­ку (на рис. 2 точ­ка $O$) на­зы­ва­ют цен­тром об­ра­зую­щей. Тан­генс уг­ла ме­ж­ду ка­са­тель­ны­ми плос­ко­стя­ми к по­верх­но­сти в цен­тре $O$ и к.-л. дру­гой точ­ке $O'$ той же об­ра­зую­щей про­пор­цио­на­лен рас­стоя­нию $OO′$. Аб­со­лют­ная ве­ли­чи­на га­ус­совой кри­виз­ны Л. п. дос­ти­га­ет на дан­ной об­ра­зую­щей наи­боль­ше­го зна­че­ния в цен­тре об­ра­зую­щей и убы­ва­ет при уда­ле­нии от цен­тра по об­ра­зую­щей. Мно­же­ст­во цен­тров об­ра­зую­щих на­зы­ва­ет­ся ли­ни­ей сжа­тия или стрик­ци­он­ной ли­ни­ей. Напр., у ге­ли­кои­да (Л. п., опи­сы­вае­мой рав­но­мер­ным вин­то­вым дви­же­ни­ем пря­мой во­круг не­ко­то­рой оси, ко­то­рую дви­жу­щая­ся пря­мая пе­ре­се­ка­ет под пря­мым уг­лом) ли­ни­ей сжа­тия яв­ля­ет­ся ось ($AB$ на рис. 2). Л. п. 2-го по­ряд­ка – ги­пер­бо­лич. па­ра­бо­ло­ид, од­но­по­ло­ст­ной ги­пер­бо­ло­ид – име­ют две разл. сис­те­мы пря­мо­ли­ней­ных об­ра­зую­щих (из од­но­по­ло­ст­ных ги­пер­бо­лои­дов скон­ст­руи­ро­ва­на ра­дио­мач­та сис­те­мы В. Г. Шу­хо­ва, на­хо­дя­щая­ся в Мо­ск­ве на Ша­бо­лов­ке). Две сис­те­мы пря­мо­ли­ней­ных об­ра­зую­щих име­ют толь­ко Л. п. 2-го по­ряд­ка.

Из­ги­бае­мые друг на дру­га Л. п. мож­но ка­тить од­ну по дру­гой так, что в про­цес­се ка­че­ния они бу­дут иметь об­щую об­ра­зую­щую. На этом ос­но­ва­но при­ме­не­ние Л. п. в тео­рии ме­ха­низ­мов.