ЛИНЕ́ЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЕ УРАВНЕ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛИНЕ́ЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЕ УРАВНЕ́НИЯ, дифференциальные уравнения вида $$y^{(n)}+p_1(x)у^{(n–1)}+ ...+p_n(x)y=f(x ),\tag1$$ где $у=y(x)$ – искомая функция, $y^{(n)}, у^{(n–1)}, ..., y^′$ – её производные, a коэф. $p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)$ и свободный член $f(x)$ – заданные функции. В уравнение (1) искомая функция $y$ и её производные входят в первой степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если $f(x)≡0$, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Общее решение $y_0=y_0(x)$ однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов выражается формулой $y_0=C_1y_1(x)+С_2у_2(х)+...+ +C_ny_n(x)$, где $C_1, C_2, ..., C_n$ – произвольные постоянные и $y_1(x), у_2(х), ..., y_n(x)$ – линейно независимые частные решения (их совокупность называется фундам. системой решений). Критерием линейной независимости решений служит отличие от нуля (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (вронскиана; назван по имени польск. учёного Ю. Вроньского) $$W(x)= \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & ... & y_n(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) & ... & y'_n(x)\\ ... & ... & ... & ...\\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & ... & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.\tag2$$
Общее решение $y=y(x)$ неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид $y=y_0+Y$, где $y_0=y_0(x)$ – общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и $Y=Y(x)$ – к.-л. частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция $Y(x)$ может быть найдена по формуле $$Y(x)=\sum_{k=1}^{n}y_k(x)\int_{x_0}^{x}W_k(t)\text{exp}\left (\int_{x_0}^{t}p_k(u)du\right )f(t)dt,$$ где $y_k(x)$ – решения, составляющие фундам. систему решений однородного Л. д. у., и $W_k(x)$ – алгебраич. дополнение элемента $y_k^{(n–1)}(x)$ в определителе (2) Вроньского.
Если коэффициенты уравнения (1) постоянны, т. е. $p_k(x)=a_k$, $k= 1,2,...,n$, то общее решение однородного уравнения выражается формулой $$y_0=\sum_{k=1}^{n}\sum_{s=0}^{n_k-1}x^se^{\alpha_kx}(C_{ks}\text{cos}\beta_kx + D_{ks}\text{sin}\beta_kx),$$ где $α_k+iβ_k$, $k= 1,2,...,n$, – корни характеристич. уравнения $λ^n+a_1λ_{n-1}+...+a_n=0$, $n_k$ – кратности этих корней, $C_{ks}$, $D_{ks}$ – произвольные постоянные, $i$ – мнимая единица.
Пример. Для Л. д. у. $y′′′+у=0$ характеристич. уравнение имеет вид $λ^3+ 1= 0$. Его корнями являются числа $\lambda_1=-1,\;\lambda_2=1|2+i\sqrt3/2,\; \lambda_3=1/2-i\sqrt3/2$. Поэтому общее решение данного Л. д. у. есть $y=C_1e^{-x}+e^{x/2}(C_2\:\text{cos}\:x\sqrt3/2+C_3\:\text{sin}\:x\sqrt{3/2},$ где $C_1, C_2, C_3$ – произвольные постоянные.
Системы Л. д. у. имеют вид$$\frac{dy_j}{dx}=\sum_{k=1}^np_{jk}(x)y_k+f_j(x),\tag3$$$j=1, 2,..., n$, где $p_{jk}(x)$ и $f_j(x)$, $j$, $k=1,2,...,n$, – заданные функции.
Общее решение однородной системы Л. д. у., получаемой из системы (3), если $f_j(x)≡ 0$ для всех $j= 1,2,...,n$, имеет вид $$y_j=\sum_{k=1}^nC_ky_{jk}(x),\; j=1,2,...,n,$$ где $y_{j1},y_{j2},...,y_{jn}$ – линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель $|y_{jk}(x)|$ отличен от нуля хотя бы в одной точке).
В случае постоянных коэффициентов $p_{jk}(x)=a_{jk}$ частные решения однородной системы следует искать в виде: $$y_j(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+...+A_{jn_k-1}x^{n_k-1})e^{\lambda_j}x,$$$j= 1,2,...,n$, где $A_{js}$ – постоянные, a $λ_k$ – корни характеристич. уравнения $$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$$ и $n_k$ – кратности этих корней.
Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.