КВАЗИКОНФО́РМНОЕ ОТОБРАЖЕ́НИЕ

КВАЗИКОНФО́РМНОЕ ОТОБРАЖЕ́НИЕ, од­но из обоб­ще­ний кон­форм­но­го ото­бра­же­ния. Со­хра­няю­щее ори­ен­та­цию не­пре­рыв­ное ото­бра­же­ние $y=f(x)$ об­лас­ти $G \subset \mathbf R^n$ в про­стран­ст­во $\mathbf R^n$, $n \geqslant 2$, на­зы­ва­ет­ся кон­форм­ным в точ­ке $x_0 \in G$, ес­ли оно со­хра­ня­ет фор­му бес­ко­неч­но ма­лых фи­гур, со­дер­жа­щих эту точ­ку, т. е. ес­ли ка­ж­дая ма­лая фи­гу­ра $K \subset G$, со­дер­жа­щая точ­ку $x_0$, ото­бра­жа­ет­ся в фи­гу­ру $f(K)$, $f(x_0) \in f(K)$, по­доб­ную $K$ с точ­но­стью до бес­ко­неч­но ма­лых бо­лее вы­со­ко­го по­ряд­ка, чем диа­метр $K$. При К. о. фор­ма та­ких фи­гур, во­об­ще го­во­ря, не со­хра­ня­ет­ся, но ис­ка­же­ния до­пус­ка­ют­ся лишь в ог­ра­ни­чен­ных пре­де­лах. Ес­ли в точ­ке $x_0 \in G$ ото­бра­же­ние $f$ име­ет пол­ный диф­фе­рен­ци­ал и по­ло­жи­тель­ный яко­би­ан, то ша­ры $B(x_0,r)$ с цен­тра­ми в $x_0$ и ма­лы­ми ра­диу­са­ми $r>0$ при ото­бра­же­нии $y=f(x)$ пе­ре­хо­дят (с по­греш­но­стя­ми бо­лее вы­со­ко­го по­ряд­ка, чем $r$) в со­ос­ные и по­доб­ные ме­ж­ду со­бой эл­лип­сои­ды с цен­тра­ми в $y_0=f(x_0)$. От­но­ше­ние $Q(f, x_0)$ дли­ны наи­боль­шей по­лу­оси к дли­не наи­мень­шей по­лу­оси у ка­ж­до­го из этих эл­лип­сои­дов на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том ква­зи­кон­форм­но­сти ото­бра­же­ния $f$ в точ­ке $x_0$. Ес­ли для не­ко­то­ро­го чис­ла $Q \geqslant 1$ спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во $Q(f, x_0) \leqslant Q$ при лю­бом $x_0 \in G$, то ото­бра­же­ние $f$ на­зы­ва­ет­ся $Q$-ква­зи­кон­форм­ным в $G$. При $n \geqslant 3$ се­мей­ст­во всех кон­форм­ных ото­бра­же­ний со­сто­ит лишь из т. н. мё­биу­со­вых ото­бра­же­ний – па­рал­лель­ных пе­ре­но­сов, по­во­ро­тов, по­до­бий, сим­мет­рий от­но­си­тель­но плос­ко­стей и сфер, а так­же из все­воз­мож­ных ко­неч­ных ком­би­на­ций по­сле­до­ва­тель­но вы­пол­няе­мых та­ких ото­бра­же­ний (рас­смат­ри­ва­ют­ся лишь со­хра­няю­щие ори­ен­та­цию ото­бра­же­ния). Се­мей­ст­во К. о. су­ще­ст­вен­но ши­ре.

Ос­но­во­по­ла­гаю­щи­ми в тео­рии К. о. бы­ли поч­ти од­но­вре­мен­но вы­шед­шие (1928) ра­бо­ты М. А. Лав­рен­ть­е­ва и нем. ма­те­ма­ти­ка Г. Грёт­ша.