ИТЕРА́ЦИЯ

ИТЕРА́ЦИЯ, ре­зуль­тат мно­го­крат­но­го при­ме­не­ния к.-л. ма­те­ма­тич. опе­ра­ции. Так, ес­ли $f(x)=f_1(x)$ – не­ко­то­рая функ­ция от x, ото­бра­жаю­щая об­ласть оп­ре­де­ле­ния $f(x)$ в се­бя, то функ­ции $f_2(x)=f(f_1(x))$, $f_3(x)=f(f_2(x))$,..., $f_n(x)=f(f_{n–1}(x))$ на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но 2-й, 3-й, …, $n$-й ите­ра­ция­ми функ­ции $f(x)$. Напр., по­ла­гая $f(x)=x^α$, $x>0$, по­лу­ча­ют $f_2(x)=(x^α)^α=x^{α^2}$, $f_3(x)=(x^{{α^2})^α}=x^{α^3}$,..., $f_n(x)=(x^{α^{n-1}})^α=x^{α^n}$. Ин­декс $n$ на­зы­ва­ет­ся по­ка­за­те­лем И., а пе­ре­ход от функ­ции $f(x)$ к функ­ци­ям $f_2(x)$, $f_3(x)$,... – ите­ри­ро­ва­ни­ем.

И. ис­поль­зу­ют­ся при ре­ше­нии разл. ро­да урав­не­ний и сис­тем урав­не­ний (см., напр., По­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний ме­тод); в ча­ст­но­сти, они иг­ра­ют важ­ную роль в тео­рии ин­те­граль­ных урав­не­ний.