ИНТЕГРА́ЛЬНЫЙ ЛОГАРИ́ФМ

ИНТЕГРА́ЛЬНЫЙ ЛОГАРИ́ФМ, спе­ци­аль­ная функ­ция, оп­ре­де­ляе­мая для $x>0, x≠1$ ра­вен­ст­вом $$\text{li}(x)= \int\limits_ 0^x\frac{dt}{\text{ln} \ t},$$ при этом для $x>1$ ин­те­грал по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле глав­но­го зна­че­ния, т. е. $$\text{li}(x)= \lim_{\substack{ε\to 0\\ ε>0}}  \left ( \int\limits_ 0^{1-ε}\frac{dt}{\text{ln} \ t} + \int\limits_{1+ε}^x \frac{dt}{\text{ln} \ t} \right ).$$ И. л. в ко­неч­ном ви­де че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции не вы­ра­жа­ет­ся.

Функ­ция $\text{li}(x)$ свя­за­на с ин­те­граль­ной по­ка­за­тель­ной функ­ци­ей $\text{Ei}(x)$ со­от­но­ше­ни­ем $\text{li}(x)=\text{Ei}({\ln} x)$. Вве­де­на Л. Эй­ле­ром (1768).

При $x→∞$ функ­ция $\text{li}(x)$ рас­тёт как $x/\ln x$. И. л. иг­ра­ет важ­ную роль в чи­сел тео­рии, чис­ло про­стых чи­сел, не пре­вос­хо­дя­щих $x$, асим­пто­ти­че­ски рав­но $\text{li}(x)$.