ИЗОМОРФИ́ЗМ

ИЗОМОРФИ́ЗМ в ма­те­ма­ти­ке, од­но из осн. по­ня­тий ма­те­ма­ти­ки, опи­сы­ваю­щее схо­жесть сис­тем объ­ек­тов с за­дан­ны­ми в них опе­ра­ция­ми или от­но­ше­ния­ми. При­ме­ром двух изо­морф­ных сис­тем яв­ля­ет­ся сис­те­ма R всех дей­ст­ви­тель­ных чи­сел с опе­ра­ци­ей сло­же­ния и сис­те­ма R₊ по­ло­жи­тель­ных дей­ст­ви­тель­ных чи­сел с опе­ра­ци­ей ум­но­же­ния. Внут­рен­нее строе­ние этих двух сис­тем чи­сел оди­на­ко­во в сле­дую­щем смыс­ле. Ото­бра­зим сис­те­му R в сис­те­му R₊, по­ста­вив в со­от­вет­ст­вие чис­лу $x$ из R чис­ло $y = a^x$, $a>1$, из R₊. То­гда сум­ме $x = x_1+x_ 2$ бу­дет со­от­вет­ст­во­вать про­из­ве­де­ние $y = y_1y_2$ чи­сел $y_1=a^{x1}$ и $y_2 =a^{x2}$. Об­рат­ное ото­бра­же­ние R₊ на R име­ет при этом вид $x =\log_ay$. Лю­бо­му пред­ло­же­нию, от­но­ся­ще­му­ся к сло­же­нию чи­сел сис­те­мы R, со­от­вет­ст­ву­ет пред­ло­же­ние, от­но­ся­щее­ся к ум­но­же­нию чи­сел из сис­те­мы R₊. Напр., в R сум­ма $s_n = x_1 + x_2+ \cdots+ x_n$ чле­нов ариф­ме­тич. про­грес­сии вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $s_n = (n(x_1+x_n))/2$. Для про­из­ве­де­ния $p_n = y_1y_2\cdots y_n$ чле­нов гео­мет­рич. про­грес­сии в R₊ этой фор­му­ле со­от­вет­ст­ву­ет фор­му­ла $p_n=\sqrt{(y_1y_n)^n}$ (ум­но­же­нию на $n$ в сис­те­ме R со­от­вет­ст­ву­ет воз­ве­де­ние в $n$-ю сте­пень в сис­те­ме R₊, а де­ле­нию на два – из­вле­че­ние квад­рат­но­го кор­ня).

Изу­че­ние свойств од­ной из изо­морф­ных сис­тем в зна­чит. ме­ре (с аб­ст­ракт­но-ма­те­ма­тич. точ­ки зре­ния – пол­но­стью) мож­но све­сти к изу­че­нию свойств дру­гой. Лю­бую сис­те­му объ­ек­тов $S'$, изо­морф­ную сис­те­ме $S$, мож­но рас­смат­ри­вать как мо­дель сис­те­мы $S$ и сво­дить изу­че­ние свойств сис­те­мы $S$ к изу­че­нию свойств мо­де­ли $S'$.

Об­щее оп­ре­де­ле­ние И. сис­тем объ­ек­тов с за­дан­ны­ми в них от­но­ше­ния­ми та­ко­во. Пусть да­ны две сис­те­мы объ­ек­тов $S$ и $S'$, при­чём в пер­вой оп­ре­де­ле­ны от­но­ше­ния $F_k(x_1,x_2,...)$, $k=1,2,...,n$, а во вто­рой – от­но­ше­ния $F'_k(x'_1,x'_2,...)$, $k=1,2,...,n$, при­чём для ка­ж­до­го $k$ чис­ло объ­ек­тов в от­но­ше­ни­ях $F_k$ и $F'_k$ оди­на­ко­во (оно мо­жет за­ви­сеть от $k$). Сис­те­мы $S$ и $S'$ с ука­зан­ны­ми на них от­но­ше­ния­ми на­зы­ва­ют­ся изо­морф­ны­ми (в этом слу­чае пи­шут $S\cong S'$), ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кое вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие $x'=φ(x),\, x=ψ(x')$ (в пер­вом ра­вен­ст­ве $x$ – про­из­воль­ный эле­мент сис­те­мы $S$, а во вто­ром $x'$ – про­из­воль­ный эле­мент сис­те­мы $S'$), что из от­но­ше­ния $F_k(x_1,x_2,…)$ вы­те­ка­ет от­но­ше­ние $F'_k(x'_1,x'_2,…)$ и на­обо­рот. Ото­бра­же­ние $φ$ на­зы­ва­ет­ся изо­морф­ным ото­бра­же­ни­ем или И. сис­те­мы $S$ в $S'$, а об­рат­ное ему ото­бра­же­ние $ψ$ – изо­морф­ным ото­бра­же­ни­ем или И. сис­те­мы $S'$ в $S$.

В при­ве­дён­ном вы­ше при­ме­ре в сис­те­ме R оп­ре­де­ле­но от­но­ше­ние $F(x,x_1,x_2)$, где $x=x_1+x_2$, а в сис­те­ме R₊ – от­но­ше­ние $F'(y,y_1,y_2)$, где $y=y_1y_2$; вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие ус­та­нав­ли­ва­ет­ся фор­му­ла­ми $y=a^x$, $x=\log_ay$.

По­ня­тие И. воз­ник­ло в ал­геб­ре, точ­нее, в тео­рии групп, где впер­вые был по­нят тот факт, что изу­че­ние внут­рен­ней струк­ту­ры двух изо­морф­ных сис­тем объ­ек­тов пред­став­ля­ет со­бой од­ну и ту же за­да­чу. Это свой­ст­во от­ме­тил Р. Де­карт (1637), он пред­ви­дел воз­мож­ность ото­жде­ст­в­лять изо­морф­ные от­но­ше­ния или опе­ра­ции (на­зы­вал их по­доб­ны­ми). Совр. тер­ми­но­ло­гия ут­вер­ди­лась по­сле ра­бот Э. Нё­тер (1918). По­ня­тие И. на­хо­дит при­ме­не­ние во мно­гих раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки.

Ак­сио­мы лю­бой ма­те­ма­тич. тео­рии оп­ре­де­ля­ют сис­те­му объ­ек­тов, изу­чае­мую этой тео­ри­ей, все­гда толь­ко с точ­но­стью до И.: ак­сио­ма­ти­че­ски по­стро­ен­ная ма­те­ма­тич. тео­рия, при­ме­ни­мая к к.-л. од­ной сис­те­ме объ­ек­тов, все­гда пол­но­стью при­ме­ни­ма к дру­гой, изо­морф­ной ей. По­это­му ка­ж­дая ак­сио­ма­ти­че­ская ма­те­ма­тич. тео­рия до­пус­ка­ет не од­ну, а мно­го ин­тер­пре­та­ций, или мо­де­лей.

По­ня­тие И. вклю­ча­ет в се­бя как ча­стный слу­чай по­ня­тие го­мео­мор­физ­ма. Ча­ст­ным слу­ча­ем И. яв­ля­ет­ся ав­то­морфизм – вза­им­но од­но­знач­ное ото­бра­же­ние $x'=φ(x)$, $x=ψ(x')$ сис­те­мы объ­ек­тов с за­дан­ны­ми от­но­ше­ния­ми $F_k(x_1,x_2,…)$ на са­моё се­бя, при ко­то­ром из $F_k(x_1,x_2,…)$ вы­те­ка­ет $F'_k(x'_1,x'_2,…)$, $k=1,2,...,n$, и на­обо­рот. Это по­ня­тие так­же воз­ник­ло в тео­рии групп, но по­том ока­за­лось су­ще­ст­вен­ным в разл. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки.