ЗНАКОЧЕРЕДУ́ЮЩИЙСЯ РЯД

ЗНАКОЧЕРЕДУ́ЮЩИЙСЯ РЯД (зна­ко­пе­ре­мен­ный ряд), чи­сло­вой ряд, чле­ны ко­то­ро­го по­пе­ре­мен­но по­ло­жи­тель­ны и от­ри­ца­тель­ны. Напр., ряд

$$u_1 – u_2 + u_3 – u_4 + ... + (–1)^{n–1}u_n + ...,$$

где $u_i, i = 1, 2,$ ..., по­ло­жи­тель­ны, яв­ля­ет­ся З. р. Ес­ли аб­со­лют­ные ве­ли­чины чле­нов З. р. мо­но­тон­но убы­ва­ют $(u_{n+1} \leqslant u_n)$ и стре­мят­ся к ну­лю, то З. р. схо­дит­ся (при­знак Лейб­ни­ца, 1682). В этом слу­чае ос­та­ток З. р.

$$(–1)^nu_{n+1} + (–1)^{n+1}u_{n+2} + ...$$

име­ет знак сво­его пер­во­го чле­на и мень­ше его по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не.

При­ме­ры схо­дя­щих­ся З. р.:

$$1+\frac {1}{2}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+...+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+...\;= \text{ln}\:2,$$,

$$1+\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+...+(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}+...\;= \frac{\pi}{4}.$$.

Эти ря­ды схо­дят­ся ус­лов­но, т. е. не схо­дят­ся аб­со­лют­но (см. Ряд).