Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ С ЧА́СТНЫМИ ПРОИЗВО́ДНЫМИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 104

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ С ЧА́СТНЫМИ ПРОИЗВО́ДНЫМИ, уравнение вида $$F(x,u,...,p_{i_1\dots i_n},...)=0,\tag1$$ где $F$ – за­дан­ная дей­ст­ви­тель­ная функ­ция точ­ки $x=(x_1,...,x_n)$ не­ко­то­рой об­лас­ти $D$ в $n$-мер­ном евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве, $n⩾2$, и пе­ре­мен­ных $$p_{i_{1\cdots}i_n}=\frac{\partial^ku}{\partial x_1^{i_1}\dots\partial x_n^{i_n}},$$где $u(x)$ – не­из­вест­ная функ­ция; не­от­ри­ца­тель­ные ин­дек­сы $i_1,…,i_n$ та­ко­вы, что $i_1+…+i_n=k, k=1,…,m, m⩾1$, и по край­ней ме­ре од­на из про­из­вод­ных функ­ции $$\frac{\partial F}{\partial p_{i_1\dots i_n}}, i_1+\dots+i_n=m,$$$F$ от­лич­на от ну­ля. Чис­ло $m$ на­зы­ва­ет­ся по­ряд­ком урав­не­ния (1).

Ес­ли $F$ – ли­ней­ная функ­ция пе­ре­мен­ных , то урав­не­ние (1) на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным. Ли­ней­ное урав­не­ние с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми 2-го по­ряд­ка мож­но за­пи­сать в ви­де $$\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}A_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum^n_{j=1}B_j \frac {\partial u}{\partial x_j}+Cu=f,\tag2$$

где $A_{ij}, B_j, C$ и $f$ – за­дан­ные в об­лас­ти $D$ дей­ст­ви­тель­ные функ­ции точ­ки $x$.

Как и для обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, на­хо­ж­де­ние ча­ст­но­го ре­ше­ния Д. у. с ч. п. тре­бу­ет за­да­ния до­пол­нит. ус­ло­вий, ко­то­рым долж­но удов­ле­тво­рять это ре­ше­ние. Та­ки­ми до­пол­нит. ус­ло­вия­ми обыч­но яв­ля­ют­ся на­чаль­ные ус­ло­вия, т. е. за­да­ние функ­ции $u(x,t)$ при не­ко­то­ром зна­че­нии $t=t_0$, или крае­вые ус­ло­вия, т. е. за­да­ние функ­ции $u(x,t)$ на гра­ни­це об­лас­ти $D$ или на час­ти этой гра­ни­цы.

Напр., об­щим ре­ше­ни­ем урав­не­ния $$\frac {\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac {\partial ^2u}{\partial x^2}\tag3$$ яв­ля­ет­ся функ­ция $$u(x,t)=f(x+t)+g(x-t),$$где $f$ и $g$ – про­из­воль­ные дос­та­точ­но глад­кие функ­ции. Т. о., диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние (3) ог­ра­ни­чи­ва­ет про­из­вол в вы­бо­ре функ­ции $u(x,t)$ двух пе­ре­мен­ных лишь в той ме­ре, что её уда­ётся вы­ра­зить че­рез две про­из­воль­ные функ­ции од­но­го пе­ре­мен­но­го.

Ти­пич­ной за­да­чей с на­чаль­ны­ми ус­ло­вия­ми для сис­те­мы Д. у. с ч. п. 1-го по­ряд­ка $$\frac{\partial u_i}{\partial t}=f_i(t;x_1, ...,x_n;u_1,...,u_m),$$ где не­за­ви­си­мы­ми пе­ре­мен­ны­ми яв­ля­ют­ся $t, x_1,…,x_n, а u_1,…,u_m$ суть функ­ции от этих не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных, мо­жет слу­жить за­да­ча Ко­ши: по за­дан­ным при к.-л. $t=t_0$ зна­че­ни­ям $$u_i(t_0, x_1, ..., x_n)=φ_i(x_1, ..., x_n)$$ най­ти функ­ции $u_i(t, x_1, ..., x_n), i= =1,2,...,m$.

В тео­рии Д. у. с ч. п. по­ряд­ка вы­ше пер­во­го и сис­тем Д. у. с ч. п. рас­смат­ри­ва­ют­ся как за­да­чи Ко­ши, так и ряд крае­вых за­дач.

При по­ста­нов­ке и ре­ше­нии крае­вых за­дач для Д. у. с ч. п. по­ряд­ка вы­ше пер­во­го су­ще­ст­вен­ное зна­че­ние име­ет т. н. тип урав­не­ния. В ка­че­ст­ве при­ме­ра мож­но при­вес­ти клас­си­фи­ка­цию Д. у. с ч. п. 2-го по­ряд­ка с од­ной не­из­вест­ной функ­ци­ей $z(x,y)$ от двух пе­ре­мен­ных $$F(x, y, z, p, q, r, s, t)=0,\tag4$$где $$p=\frac {\partial z}{\partial x},q=\frac {\partial z}{\partial y},r=\frac {\partial^2 z}{\partial x^2},s=\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y},t=\frac {\partial^2 z}{\partial y^2}.$$

Ес­ли $$D=4\frac {\partial F}{\partial r}\frac {\partial F}{\partial t}-\Bigg \lgroup \frac {\partial F}{\partial s} \Bigg\rgroup^2>0$$то урав­не­ние (4) на­зы­ва­ет­ся эл­лип­ти­че­ским. При­ме­ром мо­жет слу­жить урав­не­ние Ла­п­ла­са$$\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.$$

Ес­ли $D<0$, то урав­не­ние (4) на­зы­ва­ет­ся ги­пер­бо­ли­че­ским. При­ме­ром мо­жет слу­жить урав­не­ние ко­ле­ба­ний стру­ны $$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$

Ес­ли $D=0$, то урав­не­ние (4) на­зы­ва­ет­ся па­ра­бо­ли­че­ским. При­ме­ром мо­жет слу­жить те­п­ло­про­вод­но­сти урав­не­ние $$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$

О крае­вых за­да­чах для этих ти­пов урав­не­ний см. Ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки урав­не­ния. Для по­строе­ния при­бли­жён­ных ре­ше­ний Д. у. с ч. п. час­то при­ме­ня­ет­ся ко­неч­ных раз­но­стей ме­тод.

Лит.: Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. 3-е изд. М., 1961; Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. 5-е изд. М., 1968; Соболев С. Л. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1992; Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 7-е изд. М., 2004.

Вернуться к началу