ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ С ЧА́СТНЫМИ ПРОИЗВО́ДНЫМИ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ С ЧА́СТНЫМИ ПРОИЗВО́ДНЫМИ, уравнение вида $$F(x,u,...,p_{i_1\dots i_n},...)=0,\tag1$$ где $F$ – заданная действительная функция точки $x=(x_1,...,x_n)$ некоторой области $D$ в $n$-мерном евклидовом пространстве, $n⩾2$, и переменных $$p_{i_{1\cdots}i_n}=\frac{\partial^ku}{\partial x_1^{i_1}\dots\partial x_n^{i_n}},$$где $u(x)$ – неизвестная функция; неотрицательные индексы $i_1,…,i_n$ таковы, что $i_1+…+i_n=k, k=1,…,m, m⩾1$, и по крайней мере одна из производных функции $$\frac{\partial F}{\partial p_{i_1\dots i_n}}, i_1+\dots+i_n=m,$$$F$ отлична от нуля. Число $m$ называется порядком уравнения (1).
Если $F$ – линейная функция переменных , то уравнение (1) называется линейным. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка можно записать в виде $$\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}A_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum^n_{j=1}B_j \frac {\partial u}{\partial x_j}+Cu=f,\tag2$$
где $A_{ij}, B_j, C$ и $f$ – заданные в области $D$ действительные функции точки $x$.
Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождение частного решения Д. у. с ч. п. требует задания дополнит. условий, которым должно удовлетворять это решение. Такими дополнит. условиями обычно являются начальные условия, т. е. задание функции $u(x,t)$ при некотором значении $t=t_0$, или краевые условия, т. е. задание функции $u(x,t)$ на границе области $D$ или на части этой границы.
Напр., общим решением уравнения $$\frac {\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac {\partial ^2u}{\partial x^2}\tag3$$ является функция $$u(x,t)=f(x+t)+g(x-t),$$где $f$ и $g$ – произвольные достаточно гладкие функции. Т. о., дифференциальное уравнение (3) ограничивает произвол в выборе функции $u(x,t)$ двух переменных лишь в той мере, что её удаётся выразить через две произвольные функции одного переменного.
Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с ч. п. 1-го порядка $$\frac{\partial u_i}{\partial t}=f_i(t;x_1, ...,x_n;u_1,...,u_m),$$ где независимыми переменными являются $t, x_1,…,x_n, а u_1,…,u_m$ суть функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при к.-л. $t=t_0$ значениям $$u_i(t_0, x_1, ..., x_n)=φ_i(x_1, ..., x_n)$$ найти функции $u_i(t, x_1, ..., x_n), i= =1,2,...,m$.
В теории Д. у. с ч. п. порядка выше первого и систем Д. у. с ч. п. рассматриваются как задачи Коши, так и ряд краевых задач.
При постановке и решении краевых задач для Д. у. с ч. п. порядка выше первого существенное значение имеет т. н. тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с ч. п. 2-го порядка с одной неизвестной функцией $z(x,y)$ от двух переменных $$F(x, y, z, p, q, r, s, t)=0,\tag4$$где $$p=\frac {\partial z}{\partial x},q=\frac {\partial z}{\partial y},r=\frac {\partial^2 z}{\partial x^2},s=\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y},t=\frac {\partial^2 z}{\partial y^2}.$$
Если $$D=4\frac {\partial F}{\partial r}\frac {\partial F}{\partial t}-\Bigg \lgroup \frac {\partial F}{\partial s} \Bigg\rgroup^2>0$$то уравнение (4) называется эллиптическим. Примером может служить уравнение Лапласа$$\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.$$
Если $D<0$, то уравнение (4) называется гиперболическим. Примером может служить уравнение колебаний струны $$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$
Если $D=0$, то уравнение (4) называется параболическим. Примером может служить теплопроводности уравнение $$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$
О краевых задачах для этих типов уравнений см. Математической физики уравнения. Для построения приближённых решений Д. у. с ч. п. часто применяется конечных разностей метод.