ДИНАМИ́ЧЕСКАЯ ИГРА́

ДИНАМИ́ЧЕСКАЯ ИГРА́, бес­коа­ли­ци­он­ная иг­ра, в ко­то­рой иг­ро­ки со­вме­ст­но управ­ля­ют дви­же­ни­ем точ­ки в не­ко­то­ром мно­же­ст­ве $X$, на­зы­вае­мом про­стран­ст­вом со­стоя­ний иг­ры. Д. и. мо­жет рас­смат­ри­вать­ся как раз­но­вид­ность по­зи­ци­он­ных игр, ха­рак­те­ри­зуе­мая спе­ци­фич. фор­мой как за­ко­нов пе­ре­хо­да от со­стоя­ния к со­стоя­нию, так и вы­иг­ры­шей иг­ро­ков. См. Игр тео­рия.

Про­цесс Д. и. за­клю­ча­ет­ся в по­сле­до­ва­тель­ном пе­ре­хо­де от од­но­го со­стоя­ния к дру­го­му в со­от­вет­ст­вии с вы­бо­ром все­ми иг­ро­ка­ми управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий; вы­иг­ры­ши иг­ро­ков оп­ре­де­ля­ют­ся всей по­сле­до­ва­тель­но­стью со­стоя­ний и управ­ле­ний. Ти­пич­ны­ми при­ме­ра­ми мо­гут слу­жить иг­ры на вы­жи­ва­ние (ра­зо­ре­ние), в ко­то­рых иг­ро­ки, об­ла­дая не­ко­то­ры­ми на­чаль­ны­ми ка­пи­та­ла­ми, по­сле­до­ва­тель­но ра­зыг­ры­ва­ют од­ну и ту же бес­коа­ли­ци­он­ную иг­ру до мо­мен­та ра­зо­ре­ния од­но­го из них. Для ка­ж­до­го иг­ро­ка $i,i=1,...,n$ ($n$ – чис­ло иг­ро­ков) и ка­ж­дой точ­ки $x ∈ X$ оп­ре­де­ле­но мно­же­ст­во $S_i^{(x)}$ т. н. эле­мен­тар­ных стра­те­гий иг­ро­ка $i$ в этой точ­ке и та­ким об­ра­зом оп­реде­ле­но мно­же­ст­во $S^{(x)} =S_1^{(x)}\times...×S_n^{(x)}$ эле­мен­тар­ных си­туа­ций в точ­ке $x$. На $X$ за­да­ны из­вест­ные ка­ж­до­му из иг­ро­ков ве­ро­ят­но­ст­ные рас­пре­де­ле­ния $$F(x_k∣x_1,S^{(x_1)} , ..., x_{k-1},S^{(x_{k-1}}),\\ х_j∈Х,\quad s^{(x_j)}∈S^{(x_j)},\quad j=1,...,k,\\ k=1, 2, ...,$$ оп­ре­де­ляю­щие за­кон дви­же­ния управ­ляе­мой точ­ки. Пар­тия $$P=(x_1,S^{(x_1)} , ..., x_k,S^{(x_k)} , ...)$$ в Д. и. оп­ре­де­ля­ет­ся ин­дук­тив­но по сле­дую­щей схе­ме. В на­чаль­ном со­стоя­нии $x_1$ ка­ж­дый иг­рок вы­би­ра­ет эле­мен­тар­ную стра­те­гию $s_i^{(x_1)}∈S_i^{(x_1)}, i=1,...,n,$ в ре­зуль­та­те че­го воз­ни­ка­ет эле­мен­тар­ная ситуа­ция $s^{(x_1)}$ и иг­ра слу­чай­ным об­ра­зом пе­ре­хо­дит в со­стоя­ние $x_2$, со­глас­но распре­де­ле­нию $F(x_2∣x_1,s^{(x_1)} )$. Ес­ли оп­реде­лён от­ре­зок пар­тии $(x_1,s^{(x_1)} ,...,x_{k-1})$ и об­ра­зу­ет­ся эле­мен­тар­ная си­туа­ция $s^{x_{k-1}}$, то ана­ло­гич­но иг­ра пе­ре­хо­дит в со­стоя­ние $x_k$, в со­от­вет­ст­вии с рас­пре­деле­ни­ем $F(x_k∣x_1,s^{(x_1)} , ..., x_{k-1},S^{(x_{k-1})} )$. Для ка­ж­дой пар­тии $P$ оп­ре­де­лён вы­иг­рыш $h_i(P)$ иг­ро­ка $i$. Функ­ции $h_i(P)$, во­об­ще го­во­ря, про­из­воль­ны, но ча­ще рас­смат­ри­ва­ют­ся Д. и. ли­бо с тер­ми­наль­ным вы­иг­ры­шем (иг­ра за­кан­чи­ва­ет­ся, как толь­ко $x_k$ ока­зы­ва­ет­ся в т. н. тер­миналь­ном мно­же­ст­ве $X^T⊂X$ и $h_i(P)=h_i(x_k)$, где $x_k$ – по­след­нее со­стоя­ние в иг­ре), ли­бо с ин­те­граль­ным вы­иг­рышем $\left( h_i(P)=\sum_{k=1}^{\infty}h_i(x_k,s^{(x_k)}) \right)$. Обычно счи­та­ет­ся, что к оче­ред­но­му мо­мен­ту вы­бо­ра эле­мен­тар­ной стра­те­гии иг­ро­ки зна­ют пред­ше­ст­вую­щий от­ре­зок пар­тии. В этом слу­чае чис­тая стра­те­гия $s_i$ иг­ро­ка $i$ есть на­бор функ­ций $$s_i^x(x_1,s^{(x_1)} , ..., x_{k-1},s^{(x_{k-1})} , x),$$ ста­вя­щих в со­от­вет­ст­вие от­рез­ку пар­тии, за­кан­чи­ваю­ще­му­ся в $x$, эле­мен­тар­ную стра­те­гию $s^{(x)}_i∈S^{(x)}_i$.