ДЕЙСТВИ́ТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО́

ДЕЙСТВИ́ТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО́ (ве­ще­ст­вен­ное чис­ло), лю­бое по­ло­жи­тель­ное чис­ло, от­ри­ца­тель­ное чис­ло или нуль. Д. ч. раз­де­ля­ют­ся на ра­цио­наль­ные и ир­ра­цио­наль­ные. Ка­ж­дое ра­цио­наль­ное чис­ло пред­ста­ви­мо как в ви­де дро­би $p/q$, где $p$ и $q$ – це­лые чис­ла, $q \neq 0$, так и в ви­де ко­неч­ной или бес­ко­неч­ной пе­рио­дич. де­ся­тич­ной дро­би, а лю­бое ир­ра­цио­наль­ное чис­ло пред­ста­ви­мо в ви­де бес­ко­неч­ной не­пе­рио­дич. де­ся­тич­ной дро­би. Стро­гая тео­рия Д. ч. бы­ла раз­ви­та во 2-й пол. 19 в. в тру­дах К. Вей­ер­шт­рас­са, Р. Де­де­кин­да и Г. Кан­то­ра. Мно­же­ст­во всех Д. ч. на­зы­ва­ют чи­сло­вой пря­мой и обо­зна­ча­ют $\boldsymbol R$. Это мно­же­ст­во ли­ней­но упо­ря­до­че­но (т. е. од­но из двух разл. чи­сел боль­ше дру­го­го) и об­ра­зу­ет по­ле по от­но­ше­нию к опе­ра­ци­ям сло­же­ния и ум­но­же­ния. Мно­же­ст­во ра­цио­наль­ных чи­сел всю­ду плот­но в $\boldsymbol R$, т. е. ка­ж­дое Д. ч. яв­ля­ет­ся пре­де­лом по­сле­до­ва­тель­но­сти ра­цио­наль­ных чи­сел. Чи­сло­вую пря­мую мож­но пред­ста­вить в ви­де гео­мет­рич. пря­мой, т. е. ме­ж­ду чис­ла­ми из $\boldsymbol R$ и точ­ка­ми на пря­мой мож­но ус­та­но­вить вза­им­но од­но­знач­ное со­от­вет­ст­вие с со­хра­не­ни­ем упо­ря­до­чен­но­сти. Важ­ней­шим свой­ст­вом чи­сло­вой пря­мой яв­ля­ет­ся её не­пре­рыв­ность. Свой­ст­во не­пре­рыв­но­сти чи­сло­вой пря­мой име­ет неск. эк­ви­ва­лент­ных фор­му­ли­ро­вок. Прин­цип Вей­ер­шт­рас­са: вся­кое не­пус­тое ог­ра­ни­чен­ное свер­ху чи­сло­вое мно­же­ст­во име­ет (един­ст­вен­ную) точ­ную верх­нюю грань. Прин­цип Де­де­кин­да: вся­кое се­че­ние (де­де­кин­до­во се­че­ние) в об­лас­ти Д. ч. име­ет ру­беж. Прин­цип Кан­то­ра (прин­цип вло­жен­ных от­рез­ков): для вся­кой сис­те­мы вло­жен­ных от­рез­ков чи­сло­вой пря­мой, дли­ны ко­то­рых стремят­ся к ну­лю, т. е. сис­те­мы $\{[a_n, b_n]\}_{n=1}^\infty, a_1\leq a_2\leq \dotsc,b_1\leq b_2\leq \dots,b_n-a_n\to 0, n \to \infty $, су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ное чис­ло, при­над­ле­жа­щее всем от­рез­кам.

Тео­рия Д. ч. яв­ля­ет­ся фун­да­мен­том, на ко­то­ром стро­ит­ся тео­рия пре­де­лов и вме­сте с ней весь совр. ма­те­ма­тич. ана­лиз.