Действи́тельное число́ (вещественное число), любое положительное число, отрицательное число или нуль. Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные. Каждое рациональное число представимо как в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ – целые числа, $q \neq 0$, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а любое иррациональное число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Строгая теория действительных чисел была развита во 2-й половине 19 в. в трудах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Множество всех действительных чисел называют числовой прямой и обозначают$\boldsymbol R$. Это множество линейно упорядочено (т. е. одно из двух различных чисел больше другого) и образует поле по отношению к операциям сложения и умножения. Множество рациональных чисел всюду плотно в $\boldsymbol R$, т. е. каждое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел. Числовую прямую можно представить в виде геометрической прямой, т. е. между числами из $\boldsymbol R$ и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшим свойством числовой прямой является её непрерывность. Свойство непрерывности числовой прямой имеет несколько эквивалентных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) точную верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение (дедекиндово сечение) в области действительных чисел имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип вложенных отрезков): для всякой системы вложенных отрезков числовой прямой, длины которых стремятся к нулю, т. е. системы $\{[a_n, b_n]\}_{n=1}^\infty$, $a_1\leq a_2\leq \ldots$, $b_1\leq b_2\leq \ldots$, $b_n-a_n\to 0$, $n \to \infty$, существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам.

Теория действительных чисел является фундаментом, на котором строится теория пределов и вместе с ней весь современный математический анализ.