ВЕРОЯ́ТНОСТЬ

ВЕРОЯ́ТНОСТЬ ма­те­ма­ти­че­ская, чи­сло­вая ха­рак­те­ри­сти­ка воз­мож­но­сти по­яв­ле­ния к.-л. оп­ре­де­лён­но­го со­бы­тия в тех или иных оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях, ко­то­рые мо­гут по­вто­рять­ся не­ог­ра­ни­чен­ное чис­ло раз. По­ня­тие «В.» от­ра­жа­ет осо­бый тип свя­зей ме­ж­ду яв­ле­ния­ми, ха­рак­тер­ных для мас­со­вых про­цес­сов, и ле­жит в ос­но­ве осо­бо­го клас­са за­ко­но­мер­но­стей – ве­ро­ят­но­ст­ных или ста­ти­сти­че­ских.

Чис­лен­ное зна­че­ние В. в не­ко­то­рых слу­ча­ях мо­жет быть по­лу­че­но из клас­сич. оп­ре­де­ле­ния В. как от­но­ше­ние чис­ла слу­ча­ев, бла­го­при­ят­ст­вую­щих дан­но­му со­бы­тию, к об­ще­му чис­лу рав­но­воз­мож­ных слу­ча­ев. Напр., ес­ли из 10 млн. ло­те­рей­ных би­ле­тов, на ко­то­рые в од­ном ти­ра­же дол­жен вы­пасть один вы­иг­рыш макс. раз­ме­ра, в дан­ном го­ро­де раз­ме­ще­но 500 тыс. би­ле­тов, то В. то­го, что макс. вы­иг­рыш дос­та­нет­ся жи­те­лю дан­но­го го­ро­да, рав­на $500000/10000000=\:^1/_{20}$.

В дру­гих, бо­лее слож­ных слу­ча­ях оп­ре­де­ле­ние чис­лен­но­го зна­че­ния В. тре­бу­ет ста­ти­стич. под­хо­да. Напр., ес­ли при 100 вы­стре­лах стре­лок по­пал в цель 39 раз, то мож­но ду­мать, что для не­го В. по­па­да­ния в цель при дан­ных ус­ло­ви­ях при­бли­зи­тель­но рав­на $^4/_{10}$.

Ве­ро­ят­но­стей тео­рия по­зво­ля­ет по В. од­них слу­чай­ных со­бы­тий оп­ре­де­лён­ным, напр. клас­сич. или ста­ти­стич., спо­со­бом на­хо­дить В. др. слу­чай­ных со­бы­тий, свя­зан­ных к.-л. об­ра­зом с ис­ход­ны­ми. Напр., ес­ли В. по­па­да­ния при отд. вы­стре­ле рав­на $^4/_{10}$, то В. то­го, что при че­ты­рёх вы­стре­лах бу­дет хо­тя бы од­но по­па­да­ние, рав­на $1-(1-\:^4/_{10})^4≈0,87$. Этот вы­вод мо­жет быть про­ве­рен ста­ти­сти­че­ски: ес­ли по­пыт­ки по­ра­зить цель хо­тя бы од­ним вы­стре­лом из че­ты­рёх бу­дут по­вто­рять­ся мно­го раз, то они бу­дут иметь ус­пех при­бли­зи­тель­но в 87 слу­ча­ях из ста (в пред­по­ло­же­нии, что за это вре­мя ис­кус­ст­во стрел­ка не из­ме­нит­ся за­мет­ным об­ра­зом).

Ма­те­ма­тич. В. яв­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем ка­че­ст­вен­но свое­об­раз­ной свя­зи ме­ж­ду слу­чай­ным и не­об­хо­ди­мым. При из­ло­же­нии тео­рии ве­ро­ят­но­стей фор­му­ли­ру­ют­ся в ви­де ак­си­ом те свой­ст­ва В., ко­то­рые на дан­ном эта­пе со­стоя­ния нау­ки не­об­хо­ди­мы для её раз­ви­тия. Од­на­ко ни эти ак­сио­мы, ни клас­сич., ни ста­ти­стич. оп­ре­де­ле­ния В. не да­ют ис­чер­пы­ваю­ще­го оп­ре­де­ле­ния ре­аль­но­го со­дер­жа­ния по­ня­тия «В.»; они яв­ля­ют­ся лишь из­вест­ны­ми при­бли­же­ния­ми ко всё бо­лее пол­но­му его рас­кры­тию. Да­ле­ко не вся­кое со­бы­тие, на­сту­п­ле­ние или не­на­сту­п­ле­ние ко­то­ро­го при за­дан­ных ус­ло­ви­ях не яв­ля­ет­ся дос­то­вер­ным, име­ет при этих ус­ло­ви­ях оп­ределён­ную В. Пред­по­ло­же­ние, что при дан­ных ус­ло­ви­ях для дан­но­го со­бы­тия В., т. е. впол­не оп­ре­де­лён­ная «нор­маль­ная» до­ля (час­то­та) чис­ла по­яв­ле­ний дан­но­го со­бы­тия при боль­шом чис­ле по­вто­ре­ний дан­ных ус­ло­вий, су­ще­ст­ву­ет, яв­ля­ет­ся ги­по­те­зой, ко­то­рая в ка­ж­дом отд. во­про­се тре­бу­ет спец. про­вер­ки или обос­но­ва­ния. Напр., име­ет смысл го­во­рить о В. по­па­да­ния в цель за­дан­ных раз­ме­ров, с за­дан­но­го рас­стоя­ния из вин­тов­ки из­вест­но­го об­раз­ца стрел­ком, вы­зван­ным нау­да­чу из оп­ре­де­лён­но­го во­ин­ско­го под­раз­де­ле­ния. Од­на­ко бы­ло бы бес­смыс­лен­но го­во­рить о В. по­па­да­ния в цель, ес­ли об ус­ло­ви­ях стрель­бы ни­че­го не из­вест­но.

По по­во­ду свя­зи В. с час­то­той на­до иметь в ви­ду сле­дую­щее: при боль­шом чис­ле $n$ по­вто­ре­ний за­дан­ных ус­ло­вий до­ля чис­ла слу­ча­ев $m$, в ко­то­рых дан­ное со­бы­тие поя­вит­ся, т. е. час­то­та $m/n$, как пра­ви­ло, ма­ло от­ли­ча­ет­ся от его В. $p$. Чем боль­ше чис­ло по­вто­ре­ний $n$, тем ре­же встре­ча­ют­ся сколь­ко-ни­будь зна­чит. от­кло­не­ния час­то­ты $m/n$ от В. $p$. Для по­яс­не­ния это­го об­стоя­тель­ст­ва рас­смот­рим при­мер бро­са­ния мо­не­ты, в ко­то­ром В. по­яв­ле­ния «ор­ла» и «реш­ки» оди­на­ко­вы и рав­ны $^1/_2$. При де­ся­ти бро­са­ни­ях ($n=10$) по­яв­ле­ние де­ся­ти «ор­лов» или де­ся­ти «ре­шек» ма­ло­ве­ро­ят­но. Но и ут­вер­ждать, что «орёл» вы­па­да­ет ров­но 5 раз, нет дос­та­точ­ных ос­но­ва­ний; бо­лее то­го, ут­вер­ждать, что «орёл» вы­па­дет 4, 5 или 6 раз, до­воль­но рис­ко­ван­но (В. это­го со­бы­тия рав­на 0,6563). Од­на­ко при ста бро­са­ни­ях мо­не­ты мож­но уже без прак­ти­че­ски ощу­ти­мо­го рис­ка ут­вер­ждать, что чис­ло вы­пав­ших «ор­лов» бу­дет ле­жать ме­ж­ду 40 и 60 (В. это­го со­бы­тия рав­на 0,9648; см. Боль­ших чи­сел за­кон).

Ма­те­ма­тич. В. мо­жет слу­жить для оцен­ки В. со­бы­тия в обыч­ном, жи­тей­ском смыс­ле, т. е. для уточ­не­ния т. н. про­бле­ма­ти­че­ских су­ж­де­ний, вы­ра­жаю­щих­ся обыч­но сло­ва­ми «воз­мож­но», «ве­ро­ят­но», «очень ве­ро­ят­но» и т. п. По по­во­ду этих оце­нок сле­ду­ет иметь в ви­ду, что в при­ме­не­нии к лю­бо­му оп­ре­де­лён­но­му су­ж­де­нию, ко­то­рое на са­мом де­ле мо­жет быть толь­ко ис­тин­ным или лож­ным, оцен­ка его В. име­ет лишь вре­мен­ный или же субъ­ек­тив­ный смысл, т. е. вы­ра­жа­ет лишь на­ше от­но­ше­ние к де­лу. Напр., ес­ли кто-ли­бо, не имея по это­му по­во­ду спец. све­де­ний, за­хо­чет пред­ста­вить се­бе вид ок­ре­ст­но­стей Мо­ск­вы 23 мар­та 1930, то он ска­жет: «Ве­ро­ят­но, в этот день на по­лях ле­жал снег». Од­на­ко на са­мом де­ле в 1930 снег под Мо­ск­вой к 22 мар­та уже со­шёл с по­лей. Вы­яс­нив это об­стоя­тель­ст­во, мы долж­ны бу­дем от­ме­нить пер­во­на­чаль­ную оцен­ку, вы­ра­жен­ную за­клю­чён­ным в ка­выч­ки про­бле­ма­тич. су­ж­де­ни­ем. Тем не ме­нее эта оцен­ка, ока­зав­шая­ся в при­ме­не­нии к дан­но­му ин­ди­ви­ду­аль­но­му слу­чаю оши­боч­ной, ос­но­ва­на на вер­ном об­щем пра­ви­ле: «В на­ча­ле два­дца­тых чи­сел мар­та на по­лях под Мо­ск­вой по боль­шей час­ти ле­жит снег». Это пра­ви­ло от­ра­жа­ет объ­ек­тив­ные свой­ст­ва кли­ма­та Под­мос­ко­вья. Та­ко­го ро­да пра­ви­ла мож­но вы­ра­жать, ука­зы­вая уро­вень В. ин­те­ре­сую­ще­го нас со­бы­тия при тех или иных об­щих, осу­ще­ст­ви­мых не­ог­ра­ни­чен­ное чис­ло раз ус­ло­ви­ях. Эти оцен­ки уже име­ют объ­ек­тив­ный смысл. По­это­му упот­реб­ле­ние рас­чё­та В. для под­тверж­де­ния на­ших оце­нок сте­пе­ни надёж­но­сти тех или иных ут­вер­жде­ний, от­но­ся­щих­ся к отдельным ин­ди­ви­ду­аль­ным со­бы­ти­ям, не долж­но да­вать по­во­да к мнению, что ма­те­ма­тич. В. яв­ля­ет­ся толь­ко чи­сло­вым вы­ра­же­ни­ем на­шей субъ­ек­тив­ной уве­рен­но­сти в на­сту­п­ле­нии не­ко­то­ро­го со­бы­тия. Та­кое субъ­ек­тив­ное по­ни­ма­ние смыс­ла ма­те­ма­тич. В. яв­ля­ет­ся оши­боч­ным. При по­сле­до­ва­тель­ном раз­ви­тии оно при­во­дит к аб­сурд­но­му ут­вер­жде­нию, что из чис­то­го не­зна­ния, ана­ли­зи­руя од­ни лишь субъ­ек­тив­ные со­стоя­ния на­шей боль­шей или мень­шей уве­рен­но­сти, мы мо­жем сде­лать ка­кие-ли­бо оп­ре­де­лён­ные за­клю­че­ния от­но­си­тель­но внеш­не­го ми­ра.

Опи­сан­ное вы­ше упот­реб­ле­ние рас­чё­та В. для оцен­ки си­туа­ции в отд. ин­ди­ви­ду­аль­ных слу­ча­ях не­из­беж­но при­во­дит к во­про­су о том, ка­ки­ми В. мож­но пре­неб­ре­гать на прак­ти­ке. Этот во­прос ре­ша­ет­ся по-раз­но­му, в за­ви­си­мо­сти от то­го, на­сколь­ко ве­ли­ка не­об­хо­ди­мость бы­ст­ро­го пе­ре­хо­да от на­ко­п­ле­ния на­дёж­ных дан­ных к их дей­ст­вен­но­му упот­реб­ле­нию. Напр., ес­ли при дан­ных ус­ло­ви­ях стрель­бы тео­ре­тич. рас­чёт при­во­дит к то­му, что по­став­лен­ная бое­вая за­да­ча бу­дет ре­ше­на дан­ным чис­лом вы­стре­лов с В. 0,95 (т. е. В. то­го, что на­зна­чен­но­го чис­ла сна­ря­дов не хва­тит, рав­на 0,05), то обыч­но счи­та­ют воз­мож­ным ис­хо­дить при ру­ко­во­дстве бое­вы­ми опе­ра­ция­ми из пред­по­ло­же­ния, что на­зна­чен­ное чис­ло сна­ря­дов ока­жет­ся дос­та­точ­ным. В бо­лее спо­кой­ной об­ста­нов­ке на­уч. ис­сле­до­ва­ний при­ня­то пре­неб­ре­гать лишь В. в 0,003 (это свя­за­но с т. н. пра­ви­лом трёх сигм), а ино­гда тре­бо­вать ещё боль­ше­го при­бли­же­ния В. от­сут­ст­вия ошиб­ки к еди­ни­це. В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке В., ко­то­рой ре­ше­но пре­неб­ре­гать в дан­ном ис­сле­до­ва­нии, на­зы­ва­ют зна­чи­мо­сти уров­нем. В ста­ти­сти­ке обыч­но ре­ко­мен­ду­ют поль­зо­вать­ся уров­ня­ми зна­чи­мо­сти от 0,05 при пред­ва­ри­тель­ных ори­ен­ти­ро­воч­ных ис­сле­до­ва­ни­ях до 0,001 при окон­ча­тель­ных серь­ёз­ных вы­во­дах, од­на­ко час­то дос­ти­жи­ма зна­чи­тель­но боль­шая дос­то­вер­ность ве­ро­ят­но­ст­ных вы­во­дов. Напр., осн. вы­во­ды ста­ти­стич. фи­зи­ки ос­но­ва­ны на пре­неб­ре­же­нии В., мень­ши­ми 10^–10.

В ос­но­ве ма­те­ма­тич. мо­де­лей, ис­поль­зуе­мых в тео­рии ве­ро­ят­но­стей, ле­жат три по­ня­тия: мно­же­ст­во $Ω$ т. н. эле­мен­тар­ных со­бы­тий, класс $𝒜$ под­мно­жеств $Ω$ (со­бы­тий) и оп­ре­де­лён­ная на этом клас­се функ­ция мно­жеств $\mathsf{P}$ – рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей (или ве­ро­ят­но­ст­ная ме­ра). Зна­че­ние $\mathsf{P}(A)$ функ­ции $\mathsf{P}$ для со­бы­тия $A$ на­зы­ва­ют в этом слу­чае ве­ро­ят­но­стью со­бы­тия $A$.