БУ́ЛЕВА ФУ́НКЦИЯ

БУ́ЛЕВА ФУ́НКЦИЯ (функ­ция ал­геб­ры ло­ги­ки), функ­ция, ар­гу­мен­ты ко­то­рой, рав­но как и са­ма функ­ция, при­ни­ма­ют зна­че­ния из двух­эле­мент­но­го мно­же­ст­ва (обыч­но из мно­же­ст­ва {0, 1}). Б. ф. яв­ля­ют­ся объ­ек­та­ми дис­крет­ной ма­те­ма­ти­ки, осо­бен­но час­то они ис­поль­зу­ют­ся в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке, ма­те­ма­тич. ки­бер­не­ти­ке и в тех­ни­ке. Б. ф. воз­ник­ли в сер. 19 в. в ма­те­ма­тич. за­да­чах ло­ги­ки и бы­ли на­зва­ны по име­ни Дж. Бу­ля.

Од­ной из та­ких за­дач яв­ля­ет­ся по­строе­ние т. н. ал­геб­ры вы­ска­зы­ва­ний. Для это­го ка­ж­до­му вы­ска­зы­ва­нию при­пи­сы­ва­ет­ся од­но из двух зна­че­ний – 0 или 1 (иг­раю­щие со­от­вет­ст­вен­но роль «лжи» или «ис­ти­ны»), и то­гда ос­нов­ные ло­гич. связ­ки «и», «или», «не», «ес­ли… то» мож­но рас­смат­ри­вать со­от­вет­ст­вен­но как «эле­мен­тар­ные» Б. ф.: $x\land y,\:x\lor y,\:\bar{x}, \:x \to y$. Тем са­мым зна­че­ние лю­бо­го слож­но­го вы­ска­зы­ва­ния, по­стро­ен­но­го с по­мо­щью ос­нов­ных ло­гич. свя­зок из за­дан­ных вы­ска­зы­ва­ний, яв­ля­ет­ся Б. ф. от зна­че­ний этих вы­ска­зы­ва­ний. Та­кая Б. ф. пред­став­ля­ет со­бой су­пер­по­зи­цию эле­мен­тар­ных Б. ф., со­от­вет­ст­вую­щих ло­гич. связ­кам, вхо­дя­щим в слож­ное вы­ска­зы­ва­ние. Позд­нее вы­яс­ни­лось, что язык Б. ф. удо­бен для опи­са­ния функ­цио­ни­ро­ва­ния дис­крет­ных управ­ляю­щих сис­тем, та­ких, как кон­такт­ные схе­мы, схе­мы из функ­цио­наль­ных эле­мен­тов, ло­гич. се­ти и др. Эти управ­ляю­щие сис­те­мы стро­ят­ся по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам из не­ко­то­рых ис­ход­ных эле­мен­тов по­доб­но то­му, как слож­ные вы­ска­зы­ва­ния стро­ят­ся из эле­мен­тар­ных. Пра­ви­ла по­строе­ния ука­зан­ных управ­ляю­щих сис­тем, а так­же функ­цио­ни­ро­ва­ние ис­ход­ных эле­мен­тов та­ко­вы, что функ­цио­ни­ро­ва­ние слож­ных управ­ляю­щих сис­тем мо­жет быть опи­са­но с по­мо­щью Б. ф. Эти функ­ции ис­поль­зу­ют­ся так­же в не­ко­то­рых за­да­чах це­ло­чис­лен­но­го про­грам­ми­ро­ва­ния, ко­то­рые сво­дят­ся к ре­ше­нию сис­тем бу­ле­вых урав­не­ний ви­да

$$f_1(x_1, \ldots , x_{n}) = 0,$$ $$\ldots$$ $$f_{m}(x_1, \ldots , x_{n}) = 0,$$

где $f_{i}$ – Б. ф., $i =1, 2, \ldots , m$. Су­ще­ст­ву­ют и др. воз­мож­но­сти при­ме­не­ния Б. ф. в дис­крет­ной ма­те­ма­ти­ке, бла­го­да­ря че­му изу­че­ние Б. ф. пред­став­ля­ет са­мо­стоят. ин­те­рес.

При ре­ше­нии разл. за­дач, свя­зан­ных с Б. ф., су­ще­ст­вен­ны спо­со­бы за­да­ния Б. ф., сре­ди ко­то­рых – таб­ли­цы, фор­му­лы, под­мно­же­ст­ва вер­шин $n$-мер­но­го еди­нич­но­го ку­ба. В по­след­нем слу­чае ка­ж­дый на­бор дли­ны $n$ зна­че­ний ар­гу­мен­тов (0 или 1) рас­смат­ри­ва­ет­ся как вер­ши­на $n$-мер­но­го еди­нич­но­го ку­ба, и то­гда Б. ф. от $n$ ар­гу­мен­тов мо­жет быть за­да­на с по­мо­щью под­мно­же­ст­ва вер­шин, в ко­то­рых эта функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние 1. Это под­мно­же­ст­во, вы­пи­сан­ное в ви­де мат­ри­цы, стро­ка­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся на­бо­ры зна­че­ний ар­гу­мен­тов Б. ф., на­зы­ва­ет­ся бу­ле­вой мат­ри­цей. В том слу­чае, ко­гда Б. ф. опи­сы­ва­ет функ­цио­ни­ро­ва­ние управ­ляю­щих сис­тем, по­след­нюю так­же мож­но рас­смат­ри­вать как сред­ст­во за­да­ния Б. ф. Обыч­но го­во­рят, что эта управ­ляю­щая сис­те­ма реа­ли­зу­ет дан­ную Б. ф. С реа­ли­за­ци­ей Б. ф. те­ми или ины­ми ви­да­ми управ­ляю­щих сис­тем свя­зан боль­шой круг за­дач, та­ких, как за­да­чи син­те­за, ми­ни­ми­за­ции, кон­тро­ля и на­дёж­но­сти этих сис­тем. В свя­зи с разл. спо­со­ба­ми за­да­ния Б. ф. воз­ни­ка­ют за­да­чи изу­че­ния мет­рич. ха­рак­те­ри­стик разл. клас­сов Б. ф. и свя­зан­ных с ни­ми гео­мет­рич. свойств $n$-мер­но­го еди­нич­но­го ку­ба, а так­же разл. ал­гебр Б. ф. Сис­те­ма всех клас­сов Б. ф., замк­ну­тых от­но­си­тель­но су­пер­по­зи­ций, бы­ла опи­са­на Э. По­стом (1941).

В не­ко­то­рых слу­ча­ях воз­ни­ка­ет не­об­хо­ди­мость рас­смат­ри­вать час­тич­ные, т. е. не всю­ду оп­ре­де­лён­ные, Б. ф., для ко­то­рых пе­ре­чис­лен­ные за­да­чи име­ют свою спе­ци­фи­ку.