БЛОК-СХЕ́МА

БЛОК-СХЕ́МА, сис­те­ма $B$ под­мно­жеств ко­неч­но­го мно­же­ст­ва $V$, удов­ле­тво­ряю­щая не­ко­то­рым ус­ло­ви­ям, свя­зан­ным с час­то­той по­яв­ле­ния пар эле­мен­тов мно­же­ст­ва $V$ в сис­те­ме $B$.

Фор­маль­но Б.-с. за­да­ёт­ся па­рой мно­жеств $(V, B)$, где $$V = \{a_1, …, a_v\}, \ B = \{B_1, …, B_b\}, \ B_1, …, B_b⊆V.$$

Эле­мен­ты мно­же­ст­ва $V$ на­зы­ва­ют­ся эле­мен­та­ми Б.-с., а эле­мен­ты мно­же­ст­ва $B$ – её бло­ка­ми. Па­ра­мет­ра­ми Б.-с. на­зы­ва­ют­ся чис­ла $v, b, r_i, k_j, λ_{ik}, i, k = 1, …, v, j = 1, …, b,$ где $k_j$ – чис­ло эле­мен­тов мно­же­ст­ва $V$, со­дер­жа­щих­ся в $B_j, r_i$ – чис­ло бло­ков, со­дер­жа­щих эле­мент $a_i$, а $λ_{ik}$ – чис­ло бло­ков, со­дер­жа­щих па­ру эле­мен­тов $(a_i, a_k)$.

Наи­бо­лее изу­че­ны т. н. урав­но­ве­шен­ные не­пол­ные Б.-с., для ко­то­рых $$r_i = r, k_j = r, λ_{ik} = λ, \ i, k=1, …, \ v, \ j = 1, …, b.$$

Па­ра­мет­ры урав­но­ве­шен­ной не­пол­ной Б.-с. свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$vr = kb, \ λ(v-1) = r(k-1).$$

Урав­но­ве­шен­ная не­пол­ная Б.-с., для ко­то­рой $b = v$, на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ной Б.-с. или $(v, k, λ)$-кон­фи­гу­ра­ци­ей. Под­клас­са­ми урав­но­ве­шен­ных не­пол­ных Б.-с. яв­ля­ют­ся сис­те­мы Штей­не­ра ($λ = 1$), в ча­ст­но­сти сис­те­мы троек Штей­не­ра ($k = 3$), а так­же ада­ма­ро­вы кон­фигу­ра­ции ($v = b = 4t - 1, r = k = 2t - 1, \  λ = t - 1, \ t{⩾} 2$). Б.-с. на­хо­дят при­ме­не­ние в пла­ни­ро­ва­нии экс­пе­ри­мен­та, игр тео­рии, гра­фов тео­рии и в тео­рии ко­ди­ро­ва­ния.