БЕ́ЙЕСА ФО́РМУЛА

БЕ́ЙЕСА ФО́РМУЛА, од­на из осн. фор­мул эле­мен­тар­ной тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Пусть $A_1, …, A_n$ – не­ко­то­рые не­со­вме­ст­ные (не­со­вмес­ти­мые) со­бы­тия, объ­е­ди­не­ние ко­то­рых – дос­то­вер­ное со­бы­тие, и $B$ – не­ко­то­рое со­бы­тие, $\mathsf P (A1), ..., \mathsf P (A_n), P(B){>}0$ – их ве­ро­ят­но­сти. То­гда ус­лов­ная ве­ро­ят­ность со­бы­тия $A_k$ при ус­ло­вии, что на­сту­пи­ло со­бы­тие $B$, мо­жет быть оп­ре­де­ле­на по фор­му­ле

$$\mathsf P(A_k|B)=\frac{\mathsf P(B|A_k)\mathsf P(A_k)}{\sum_{i=1}^n\mathsf P(B|A_i)\mathsf(A_i)},$$ где $k=1, ..., n, \mathsf P(B|A_i)$ – ус­лов­ная ве­ро­ят­ность со­бы­тия $B$ при ус­ло­вии, что на­сту­пи­ло со­бы­тие $A_i$. Б. ф. до­ка­за­на Т. Бей­е­сом

 >>

(опубл. в 1763), она яв­ля­ет­ся след­ст­ви­ем тео­ре­мы ум­но­же­ния ве­ро­ят­но­стей. В при­ме­не­ни­ях Б. ф. со­бы­тия $A_k$ на­зы­ва­ют обыч­но ги­по­те­за­ми, ве­ро­ят­но­сти $\mathsf P(A_k)$ – ап­ри­ор­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми, а ве­ро­ят­но­сти $\mathsf P (A_k|B)$ – апо­сте­ри­ор­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми этих ги­по­тез. Не­по­сред­ст­вен­ное ис­поль­зо­ва­ние Б. ф. в ка­че­ст­ве ос­но­вы для ста­ти­стических вы­во­дов из ре­зуль­та­тов на­блю­де­ний за­труд­ня­ет­ся тем, что, как пра­ви­ло, от­сут­ст­ву­ют дос­та­точ­но обос­но­ван­ные дан­ные об ап­ри­ор­ных ве­ро­ят­но­стях ги­по­тез. По этой при­чи­не от­но­ше­ние к Б. ф. не­од­но­крат­но пе­ре­смат­ри­ва­лось. Б. ф. ис­поль­зу­ет­ся в рам­ках т. н. бей­е­сов­ско­го под­хо­да к ре­ше­нию ста­ти­стических за­дач.