АНАЛИТИ́ЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕ́НИЕ

АНАЛИТИ́ЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕ́НИЕ, про­цесс рас­ши­ре­ния об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния ана­ли­ти­че­ской функ­ции, ос­но­ван­ный на тео­ре­ме един­ст­вен­но­сти. Про­цесс, по­зво­ляю­щий по­лу­чить в прин­ци­пе макс. об­ласть оп­ре­де­ле­ния для про­из­воль­ной ана­ли­тич. функ­ции, был опи­сан в 19 в. К. Вей­ер­шт­рас­сом. Ис­ход­ным яв­ля­ет­ся по­ня­тие эле­мен­та ана­ли­тич. функ­ции – сте­пен­но­го ря­да $$W_0=a_0+a_1(z-z_0)+\ldots+a_n(z-z_0)^n+\ldots$$с не­ну­ле­вым ра­диу­сом схо­ди­мо­сти. Раз­ла­гая эле­мент $W_0$ в ряд Тей­ло­ра в дру­гой точ­ке $z_1$ кру­га схо­ди­мо­сти, по­лу­ча­ют но­вый эле­мент $W_1$, круг схо­ди­мо­сти ко­то­ро­го мо­жет вы­хо­дить за пре­де­лы ис­ход­но­го. По­сле­до­ва­тель­ный про­цесс та­ких пе­ре­раз­ло­же­ний при­во­дит к не­кото­рой макс. со­во­куп­но­сти эле­мен­тов, ко­то­рые образуют пол­ную ана­ли­тич. функ­цию $f$, по­ро­ж­дён­ную $W_0$; объ­е­ди­не­ние их кру­гов схо­ди­мо­сти пред­став­ля­ет со­бой (вей­ер­шт­рас­со­ву) об­ласть су­ще­ст­во­ва­ния $D$ этой функ­ции.

Пол­ная ана­ли­тич. функ­ция $f$, во­об­ще го­во­ря, мно­го­знач­на в $D$. Что­бы из­ба­вить­ся от мно­го­знач­но­сти, $f$ рас­смат­ри­ва­ют как функ­цию то­чек не­ко­то­рой мно­го­ли­ст­ной по­верх­но­сти $R$; ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $D$ со­от­вет­ст­ву­ет столь­ко то­чек по­верх­но­сти $R$, сколь­ко разл. эле­мен­тов с цен­тром в этой точ­ке при­над­ле­жит функ­ции $f$. Идея пе­ре­хо­да к та­ким по­верх­но­стям (на­зы­вае­мым ри­ма­но­вы­ми по­верх­но­стя­ми) при­над­ле­жит Б. Ри­ма­ну.

Ис­поль­зо­ва­ние А. п. по К. Вей­ер­штрас­су ма­ло­эф­фек­тив­но, по­это­му для мн. клас­сов ана­ли­тич. функ­ций раз­ра­ба­ты­ва­ют­ся разл. ме­то­ды А. п., ос­но­ван­ные, напр., на функ­цио­наль­ных со­от­но­ше­ни­ях, ин­те­граль­ных пред­став­ле­ни­ях, раз­ло­же­ни­ях в не­пре­рыв­ные дро­би, раз­ло­же­ни­ях в ря­ды по сис­те­мам ана­ли­тич. функ­ций, на ин­тер­по­ля­ции эле­мен­тов ра­цио­наль­ны­ми функ­ция­ми со сво­бод­ны­ми по­лю­са­ми (ап­прок­си­ма­ции Па­де и их обоб­ще­ния).