И́НДЕКСЫ

И́НДЕКСЫ в ста­ти­сти­ке (от лат. index – ука­за­тель, по­ка­за­тель), по­ка­за­те­ли от­но­си­тель­но­го из­ме­не­ния дан­но­го уров­ня ис­сле­дуе­мо­го яв­ле­ния по срав­не­нию с др. его уров­нем, при­ня­тым за ба­зу срав­не­ния. В ка­че­ст­ве та­кой ба­зы мо­жет быть ис­поль­зо­ван уро­вень за к.-л. про­шлый пе­ри­од вре­ме­ни (ди­на­ми­че­ские И.) или уро­вень то­го же яв­ле­ния на др. тер­ри­то­рии (тер­ри­то­ри­аль­ные ин­дек­сы).

Про­стей­ший по­ка­за­тель, ис­поль­зуе­мый в ин­декс­ном ана­ли­зе, – ин­ди­ви­ду­аль­ный И., ха­рак­те­ри­зую­щий из­ме­не­ние во вре­ме­ни эко­но­мич. ве­ли­чин, от­но­ся­щих­ся к од­но­му объ­ек­ту. Так, ин­ди­ви­ду­аль­ный И. це­ны рас­счи­ты­ва­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: $$i_p=\frac{p_1}{p_0},$$  где $p_1$ – це­на то­ва­ра в те­ку­щем пе­рио­де; $p_0$ – це­на то­ва­ра в ба­зис­ном (пред­ше­ст­вую­щем) пе­рио­де.

Дан­ный И. по­ка­зы­ва­ет, как вы­рос­ла или сни­зи­лась це­на то­ва­ра в те­ку­щем пе­рио­де по срав­не­нию с ба­зис­ным пе­рио­дом.

Из­ме­не­ние фи­зич. мас­сы про­дан­но­го то­ва­ра в на­ту­раль­ном вы­ра­же­нии из­ме­ря­ет­ся ин­ди­ви­ду­аль­ным И. фи­зич. объ­ё­ма реа­ли­за­ции:  $$i_q=\frac{q_1}{q_0},$$  где $q_1$ – ко­ли­че­ст­во то­ва­ра в те­ку­щем пе­рио­де; $q_0$ – ко­ли­че­ст­во то­ва­ра в ба­зис­ном (пред­ше­ст­вую­щем) пе­рио­де.

Из­ме­не­ние стои­мо­ст­но­го объ­ё­ма то­ва­ро­обо­ро­та по дан­но­му то­ва­ру от­ра­жа­ет­ся в зна­че­нии ин­ди­ви­ду­аль­но­го И. то­ва­ро­обо­ро­та. Для его рас­чё­та то­ва­ро­обо­рот те­ку­ще­го пе­рио­да (про­из­ве­де­ние це­ны на ко­ли­че­ст­во про­дан­но­го то­ва­ра) срав­ни­ва­ет­ся с то­ва­ро­обо­ро­том пред­ше­ст­вую­ще­го пе­рио­да:  $$i_{pq}=\frac{p_1q_1}{p_0q_0}.$$

Дан­ный И. так­же мо­жет быть по­лу­чен как про­из­ве­де­ние ин­ди­ви­ду­аль­но­го И. це­ны и ин­ди­ви­ду­аль­но­го И. фи­зич. объ­ё­ма реа­ли­за­ции.

В от­ли­чие от ин­ди­ви­ду­аль­ных И., свод­ные И. по­зво­ля­ют обоб­щить по­ка­за­те­ли по не­сколь­ким ви­дам то­ва­ров, не­сколь­ким ви­дам про­дук­ции, по цен­ным бу­ма­гам не­сколь­ких эми­тен­тов и т. д. Ис­ход­ной фор­мой свод­но­го И. яв­ля­ет­ся аг­ре­гат­ная фор­ма. Свод­ные И. так­же мо­гут ис­чис­лять­ся в сред­не­ариф­ме­ти­че­ской и сред­не­гар­мо­ни­че­ской фор­мах.

Свод­ный И. то­ва­ро­обо­ро­та в аг­ре­гат­ной фор­ме по­ка­зы­ва­ет из­ме­не­ние стои­мо­ст­но­го объ­ё­ма то­ва­ро­обо­ро­та по то­вар­ной груп­пе. При этом оп­ре­де­ля­ет­ся со­во­куп­ный объ­ём то­ва­ро­обо­ро­та по $n$ то­ва­рам в те­ку­щем пе­рио­де:  $$p^1_1q^1_1+p^2_1q^2_1+p^3_1q^3_1+...+p^n_1q^n_1=\sum p_1q_1.$$

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют со­во­куп­ный объ­ём то­ва­ро­обо­ро­та для ба­зис­но­го пе­рио­да:  $$p^1_0q^1_0+p^2_0q^2_0+p^3_0q^3_0+...+p^n_0q^n_0=\sum p_0q_0.$$

Свод­ный И. то­ва­ро­обо­ро­та по­лу­ча­ют как от­но­ше­ние дан­ных аг­ре­га­тов: $$I_{pq}=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_0}.$$

Ве­ли­чи­на И. то­ва­ро­обо­ро­та фор­ми­ру­ет­ся под воз­дей­ст­ви­ем двух фак­то­ров – на неё ока­зы­ва­ют влия­ние как из­ме­не­ние цен на то­ва­ры, так и из­ме­не­ние объ­ё­мов их реа­ли­за­ции. Для то­го, что­бы оце­нить из­ме­не­ние толь­ко цен (ин­дек­си­руе­мой ве­ли­чи­ны), ко­ли­че­ст­во про­дан­ных то­ва­ров (ве­са И.) фик­си­ру­ют на к.-л. по­сто­ян­ном уров­не. Та­ким спо­со­бом по­лу­ча­ют свод­ный И. цен (см. Ин­дек­сы цен

Свод­ный И. фи­зич. объ­ё­ма реа­ли­за­ции ха­рак­те­ри­зу­ет из­ме­не­ние ко­ли­че­ст­ва про­дан­ных то­ва­ров по той или иной то­вар­ной груп­пе; при этом вхо­дя­щие в груп­пу то­ва­ры мо­гут быть не­по­сред­ст­вен­но не­со­из­ме­ри­мы, су­ще­ст­вен­но от­ли­чать­ся по сво­им ха­рак­те­ри­сти­кам, в т. ч. и по еди­ни­цам из­ме­ре­ния (пред­по­ло­жим, часть то­ва­ров из­ме­ря­ет­ся в кг, часть – в шт., часть – в л). Ве­са­ми в дан­ном слу­чае вы­сту­па­ют це­ны, ко­то­рые фик­си­ру­ют­ся на уров­не ба­зис­но­го или те­ку­ще­го пе­рио­да, напр.:  $$I_{q}=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0}.$$

Зна­ме­на­тель дан­но­го И. от­ра­жа­ет фак­тич. стои­мо­ст­ной объ­ём то­ва­ро­обо­ро­та в ба­зис­ном пе­рио­де. Чис­ли­тель же – ус­лов­ная ве­ли­чи­на, по­ка­зы­ваю­щая, ка­ким бы был стои­мо­ст­ной объ­ём то­ва­ро­обо­ро­та в те­ку­щем пе­рио­де при ус­ло­вии со­хра­не­ния цен на уров­не ба­зис­но­го пе­рио­да. В ито­ге дан­ный И. от­ра­жа­ет из­ме­не­ние фи­зич. объ­ё­ма реа­ли­за­ции по груп­пе то­ва­ров, объ­ё­мы ко­то­рых не­по­сред­ст­вен­но в на­ту­раль­ном вы­ра­же­нии сум­ми­ро­вать нель­зя.

Ме­ж­ду И. то­ва­ро­обо­ро­та, цен и фи­зич. объ­ё­ма реа­ли­за­ции су­ще­ст­ву­ет сле­дую­щая взаи­мо­связь: $$I_p·I_q = I_{pq}.$$

Ана­ло­гич­но при­ве­дён­ным вы­ше И. рас­счи­ты­ва­ют­ся и др. свод­ные И. в аг­ре­гат­ной фор­ме (се­бе­стои­мо­сти, уро­жай­но­сти и пр.).

И. по­зво­ля­ют по­лу­чать свод­ную оцен­ку из­ме­не­ния на­блю­дае­мых по­ка­за­те­лей по­сто­ян­но – ме­сяц за ме­ся­цем, год за го­дом. При этом для дос­ти­же­ния со­пос­та­ви­мо­сти они рас­счи­ты­ва­ют­ся по еди­ной ме­то­до­ло­гии. Та­кая ме­то­до­ло­гия, или схе­ма рас­чё­та И. за $n$ по­сле­до­ва­тель­ных вре­менны́х пе­рио­дов, на­зы­ва­ет­ся сис­те­мой ин­дек­сов.

В за­ви­си­мо­сти от ин­фор­мац. ба­зы и це­лей ис­сле­до­ва­ния ин­декс­ная сис­те­ма мо­жет вклю­чать И. цеп­ные или ба­зис­ные, с пе­ре­мен­ны­ми или по­сто­ян­ны­ми ве­са­ми. Напр., при рас­чё­те И. цен, ес­ли срав­ни­вать це­ны ка­ж­до­го пе­рио­да с це­на­ми пе­рио­да пред­ше­ст­вую­ще­го, по­лу­чае­мая ин­декс­ная сис­те­ма бу­дет вклю­чать цеп­ные ин­дек­сы, от­ра­жаю­щие из­ме­не­ние цен за ка­ж­дый из пе­рио­дов рас­смат­ри­вае­мо­го вре­меннóго ин­тер­ва­ла. При этом в ка­че­ст­ве ве­сов ис­поль­зу­ют объ­ё­мы реа­ли­за­ции ка­ж­до­го кон­крет­но­го пе­рио­да или же по­сто­ян­ные объ­ё­мы к.-л. пе­рио­да, при­ня­то­го в ка­че­ст­ве ба­зис­но­го. В пер­вом слу­чае ин­декс­ная сис­те­ма вклю­ча­ет цеп­ные И. с пе­ре­мен­ны­ми ве­са­ми: $$I_{p\,1/0}=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1};\quad I_{p\,2/1}=\frac{\sum p_2q_2}{\sum p_1q_2};$$    $$I_{p\,3/2}=\frac{\sum p_3q_3}{\sum p_2q_3};...\, I_{p\,n/n-1}=\frac{\sum p_nq_n}{\sum p_{n-1}q_n}.$$

При ис­поль­зо­ва­нии ве­сов ба­зис­но­го пе­рио­да по­лу­ча­ют цеп­ные И. цен с по­сто­ян­ны­ми ве­са­ми:  $$I_{p\,1/0}=\frac{\sum p_1q_0}{\sum p_0q_0};\quad I_{p\,2/1}=\frac{\sum p_2q_0}{\sum p_1q_0};$$    $$I_{p\,3/2}=\frac{\sum p_3q_0}{\sum p_2q_0};...\, I_{p\,n/n-1}=\frac{\sum p_nq_0}{\sum p_{n-1}q_0}.$$

Ис­поль­зо­ва­ние по­сто­ян­ных ве­сов бо­лее пред­поч­ти­тель­но, по­сколь­ку рас­счи­ты­вае­мые т. о. И. муль­ти­п­ли­ка­тив­ны, т. е. их мож­но по­сле­до­ва­тель­но пе­ре­мно­жать и по­лу­чать ве­ли­чи­ну по­ка­за­те­ля за бо­лее про­дол­жи­тель­ный пе­ри­од. Так, напр., рас­по­ла­гая И. цен за 3 по­сле­до­ва­тель­ных ме­ся­ца, мож­но по­лу­чить свод­ную оцен­ку из­ме­не­ния це­ны в це­лом за квар­тал и т. п. И. с пе­ре­мен­ны­ми ве­са­ми та­кой воз­мож­но­сти не пре­дос­тав­ля­ют.

При срав­не­нии цен ка­ж­до­го пе­рио­да с це­на­ми к.-л. ба­зис­но­го пе­рио­да (как пра­ви­ло, на­чаль­но­го) по­лу­чае­мая ин­декс­ная сис­те­ма вклю­ча­ет ба­зис­ные И., от­ра­жаю­щие из­ме­не­ние цен на­ко­п­лен­ным ито­гом, т. е. с на­ча­ла рас­смат­ри­вае­мо­го вре­меннóго ин­тер­ва­ла (напр., из­ме­не­ние цен в ян­ва­ре по срав­не­нию с де­каб­рём пред­ше­ст­вую­ще­го го­да, в фев­ра­ле – по срав­не­нию с тем же де­каб­рём и т. д.). При этом в ка­че­ст­ве ве­сов так­же мож­но ис­поль­зо­вать объ­ё­мы реа­ли­за­ции ка­ж­до­го кон­крет­но­го пе­рио­да или же по­сто­ян­ные объ­ё­мы пе­рио­да, при­ня­то­го за ба­зис­ный. Сис­те­ма ба­зис­ных И. с пе­ре­мен­ны­ми ве­са­ми име­ет сле­дую­щий вид:  $$I_{p\,1/0}=\frac{\sum p_1q_1}{\sum p_0q_1};\quad I_{p\,2/0}=\frac{\sum p_2q_2}{\sum p_0q_2};$$    $$I_{p\,3/0}=\frac{\sum p_3q_3}{\sum p_0q_3};...\, I_{p\,n/0}=\frac{\sum p_nq_n}{\sum p_0q_n}.$$

Ба­зис­ные ин­дек­сы цен с по­сто­ян­ны­ми ве­са­ми рас­счи­ты­ва­ют­ся по фор­му­лам:   $$I_{p\,1/0}=\frac{\sum p_1q_0}{\sum p_0q_0};\quad I_{p\,2/0}=\frac{\sum p_2q_0}{\sum p_0q_0};$$    $$I_{p\,3/0}=\frac{\sum p_3q_0}{\sum p_0q_0};...\, I_{p\,n/0}=\frac{\sum p_nq_0}{\sum p_0q_0}.$$

При рас­чё­те И. ис­поль­зу­ют не толь­ко аг­ре­гат­ную, но и сред­ние их фор­мы – сред­не­ариф­ме­ти­че­скую и сред­не­гар­мо­ни­че­скую, т. к. лю­бой свод­ный И. мож­но пред­ста­вить как сред­нюю взве­шен­ную из И. ин­ди­ви­ду­аль­ных. Ис­поль­зо­ва­ние сред­них форм свя­за­но с тем, что часть не­об­хо­ди­мой для рас­чё­та И. ин­фор­ма­ции в ря­де слу­ча­ев от­сут­ст­ву­ет или дан­ные ба­зи­ру­ют­ся на ре­зуль­та­тах вы­бо­роч­ных об­сле­до­ва­ний, ко­то­рые при­об­ре­та­ют всё большее зна­че­ние в ста­ти­стич. прак­ти­ке. Напр., при рас­чё­те свод­но­го И. цен по ме­то­ду Паа­ше ис­поль­зу­ют сле­дую­щую за­ме­ну: $$p_0q_1=\frac{1}{i_p}p_1q_1.$$

То­гда свод­ный И. цен бу­дет вы­ра­жен в фор­ме сред­ней гар­мо­ни­че­ской: $$I_p=\frac{\sum p_1q_1}{\sum \frac{1}{i_p}p_1q_1}.$$

Дан­ный свод­ный И. цен в сред­не­гар­мо­ни­че­ской фор­ме со­от­вет­ст­ву­ет свод­но­му И. Паа­ше в аг­ре­гат­ной фор­ме. Для по­лу­че­ния сред­не­го И. цен, со­от­вет­ст­вую­ще­го И. Лас­пей­ре­са, в фор­му­ле по­след­не­го ис­поль­зу­ет­ся сле­дую­щая за­ме­на: $$p_1q_0 = i_pp_0q_0.$$

С учё­том этой за­ме­ны свод­ный И. цен в сред­не­ариф­ме­ти­че­ской фор­ме име­ет вид: $$I_p=\frac{\sum i_pp_0q_0}{\sum p_0q_0}.$$

Сред­не­ариф­ме­ти­че­ская и сред­не­гар­мо­ни­че­ская фор­мы так­же ис­поль­зу­ют­ся при рас­чё­те свод­но­го И. фи­зич. объ­ё­ма то­ва­ро­обо­ро­та и др. ин­дек­сов.

И. ис­поль­зу­ют­ся не толь­ко для оцен­ки ди­на­ми­ки по­ка­за­те­лей, ха­рак­те­ри­зую­щих раз­но­род­ные в ка­че­ст­вен­ном от­но­ше­нии со­во­куп­но­сти (то­вар­ные груп­пы). Да­же ес­ли рас­смат­ри­вае­мая со­во­куп­ность од­но­род­на (то­вар од­но­го ви­да), на ве­ли­чи­не ре­зуль­та­тив­но­го по­ка­за­те­ля – сред­ней це­ны дан­но­го то­ва­ра – от­ра­жа­ет­ся влия­ние струк­тур­ных из­ме­не­ний, напр. из­ме­не­ний в струк­ту­ре его реа­ли­за­ции по тер­ри­то­ри­ям. В этом слу­чае в ин­декс­ном ана­ли­зе ис­поль­зу­ют­ся И. пе­ре­мен­но­го и фик­си­ро­ван­но­го со­ста­ва, а так­же И. струк­тур­ных сдви­гов.

И. цен пе­ре­мен­но­го со­ста­ва пред­став­ля­ет со­бой со­от­но­ше­ние сред­них зна­че­ний це­ны дан­но­го то­ва­ра за 2 рас­смат­ри­вае­мых пе­рио­да: $$I^{\text{пс}}_p=\frac{\sum p_1q_1}{\sum q_1}:\frac{\sum p_0q_0}{\sum q_0}.$$

Зна­че­ние И. от­ра­жа­ет из­ме­не­ние сред­ней це­ны как за счёт из­ме­не­ния ре­гио­наль­ных уров­ней цен, так и за счёт из­ме­не­ний в струк­ту­ре реа­ли­за­ции то­ва­ра по ре­гио­нам. Воз­дей­ст­вие струк­тур­но­го фак­то­ра оце­ни­ва­ют на ос­но­ве И. струк­тур­ных сдви­гов, за­фик­си­ро­вав це­ны на уров­не ба­зис­но­го пе­рио­да:  $$I^{\text{стр}}_p=\frac{\sum p_0q_1}{\sum q_1}:\frac{\sum p_0q_0}{\sum q_0}.$$

И. цен фик­си­ро­ван­но­го со­ста­ва не учи­ты­ва­ет струк­тур­ные сдви­ги, а ха­рак­те­ри­зу­ет из­ме­не­ние сред­ней це­ны то­ва­ра, обу­слов­лен­ное лишь из­ме­не­ни­ем ре­гио­наль­ных цен:  $$I^{\text{фс}}_p=\frac{\sum p_1q_1}{\sum q_1}:\frac{\sum p_0q_1}{\sum q_1}.$$

Взаи­мо­дей­ст­вие учи­ты­вае­мых в дан­ных И. фак­то­ров от­ра­жа­ет­ся сле­дую­щей взаи­мо­свя­зью: $$I^{\text{фс}}_p \cdot I^{\text{стр}}_p=I^{\text{пс}}_p.$$

В от­ли­чие от пред­став­лен­ных вы­ше ди­на­мич. И., тер­ри­то­ри­аль­ные И. слу­жат для срав­не­ния по­ка­за­те­лей в про­стран­ст­ве, т. е. по го­ро­дам, рай­онам, об­лас­тям и т. п. Важ­ную роль иг­ра­ют тер­ри­то­ри­аль­ные И. цен, яв­ляю­щие­ся не­за­ме­ни­мым ин­ст­ру­мен­том ис­сле­до­ва­ния в прак­ти­ке ме­ж­ду­нар. срав­не­ний уров­ней цен, в т. ч. ме­ж­ду стра­на­ми СНГ.

По­строе­ние тер­ри­то­ри­аль­ных И. име­ет оп­ре­де­лён­ные осо­бен­но­сти, свя­зан­ные с вы­бо­ром ба­зы срав­не­ния и ве­сов, или уров­ня, на ко­то­ром фик­си­ру­ют­ся ве­са. Один из ва­ри­ан­тов рас­чё­та тер­ри­то­ри­аль­ных И. цен за­клю­ча­ет­ся в том, что в ка­че­ст­ве ве­сов при­ни­ма­ют­ся объ­ё­мы про­дан­ных то­ва­ров $i$-го ви­да ($i = 1,\,2,\,…,\,n$) по двум тер­ри­то­ри­ям, вме­сте взя­тым:  $$Q_i = q_{ia} + q_{ib},$$  где $q_{ia}$ – ко­ли­че­ст­во $i$-го то­ва­ра, про­дан­но­го на тер­ри­то­рии А; $q_{ib}$ – ко­ли­че­ст­во $i$-го то­ва­ра, про­дан­но­го на тер­ри­то­рии В.

Тер­ри­то­ри­аль­ный И. цен в этом слу­чае рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле: $$I_{pb/a}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n p_{ib}Q_i}{\sum\limits_{i=1}^n p_{ia}Q_i},$$   где $p_{ib}$ – це­на $i$-го то­ва­ра на тер­ри­то­рии В; $p_{ia}$ – це­на $i$-го то­ва­ра на тер­ри­то­рии А.

При рас­чё­те тер­ри­то­ри­аль­ных И. дан­ным спо­со­бом в их фор­му­ле вме­сто сум­мар­ных ве­сов мо­гут ис­поль­зо­вать­ся не­ко­то­рые тео­ре­ти­че­ские или стан­дар­ти­зо­ван­ные ве­са; в ка­че­ст­ве та­ких ве­сов так­же мо­жет вы­сту­пать струк­ту­ра про­да­жи дан­ных то­ва­ров по бо­лее круп­но­му тер­ри­то­ри­аль­но­му об­ра­зо­ва­нию.