ПРИБЛИЖЕ́НИЕ ФУ́НКЦИЙ

ПРИБЛИЖЕ́НИЕ ФУ́НКЦИЙ дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, на­хо­ж­де­ние для дан­ной функ­ции $f$ функ­ции $g$ из не­ко­то­ро­го оп­ре­де­лён­но­го клас­са, в том или ином смыс­ле близ­кой к $f$, даю­щей её при­бли­жён­ное пред­став­ле­ние. Су­ще­ст­ву­ют разл. ва­ри­ан­ты за­да­чи о П. ф., ре­ше­ния ко­то­рых за­ви­сят от то­го, ка­кие функ­ции при­бли­жа­ют, ка­кие функ­ции ис­поль­зу­ют­ся для при­бли­же­ния, как стро­ят­ся при­бли­жаю­щие функ­ции $g$, как по­ни­ма­ет­ся бли­зость $f$ и $g$.

Для оцен­ки бли­зо­сти функ­ции $f$ и при­бли­жаю­щей её функ­ции $g$ ис­поль­зу­ют­ся (в за­ви­си­мо­сти от рас­смат­ри­вае­мой за­да­чи) мет­ри­ки разл. функ­цио­наль­ных про­странств. Обыч­но это мет­ри­ки про­странств не­пре­рыв­ных функ­ций $C$ и про­странств $L_p, p⩾1$, функ­ций, $p$-я сте­пень ко­то­рых ин­тег­ри­руе­ма, в ко­то­рых рас­стоя­ния ме­ж­ду функ­ция­ми $f$ и $g$ (за­дан­ны­ми на от­рез­ке $[a, b]$) оп­ре­де­ля­ют­ся фор­му­ла­ми $$\|f-g\|_C=\max_{x \in [a,b]}\left| f(x)-g(x)\right| \tag{*}$$  и $$\|f-g\|_{L_p}=\left( \int\limits_a^b\left| f(x)-g(x)\right|^p dx \right)^{1/p}$$

Наи­бо­лее час­то встре­чаю­щей­ся и хо­ро­шо изу­чен­ной яв­ля­ет­ся за­да­ча о П. ф. мно­го­чле­на­ми $$g(x)=\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x),$$ где $φ_0, ..., φ_n$ – за­дан­ные функ­ции, а $a_0, ..., a_n$ – про­из­воль­ные чис­ла. Обыч­но это ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­ны $$g(x)=\sum_{k=0}^n a_x x^k,$$ или три­го­но­мет­рич. по­ли­но­мы $$g(x)=\sum_{k=0}^n (a_k \cos kx+b_k \sin kx).$$ Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же по­ли­но­мы по ор­то­го­наль­ным мно­го­чле­нам

, по собств. функ­ци­ям крае­вых за­дач и т. п. Дру­гим клас­сич. сред­ст­вом при­бли­же­ния яв­ля­ют­ся ра­цио­наль­ные дро­би $P(x)/Q(x)$, где $P$, $Q$ – ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­ны за­дан­ной сте­пе­ни.

С 1960-х гг. зна­чит. раз­ви­тие по­лу­чи­ло при­бли­же­ние сплай­на­ми

. Их ха­рак­тер­ным при­ме­ром яв­ля­ют­ся ку­бич. сплай­ны, оп­ре­де­ляе­мые сле­дую­щим об­ра­зом. От­ре­зок $[a, b]$ раз­би­ва­ет­ся точ­ка­ми $a=x_0\lt x_1\lt ... \lt x_n=b$, и на ка­ж­дом от­рез­ке $[x_k, x_k+1]$ ку­бич. сплайн яв­ля­ет­ся ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­ном 3-й сте­пе­ни, при­чём эти мно­го­чле­ны под­би­ра­ют­ся так, что на всём от­рез­ке $[a, b]$ не­пре­рыв­ны сам сплайн и его пер­вая и вто­рая про­из­вод­ные. Па­ра­мет­ры, ос­тав­шие­ся сво­бод­ны­ми, мо­гут быть ис­поль­зо­ва­ны для то­го, что­бы сплайн ин­тер­по­ли­ро­вал в уз­лах $x_k$ при­бли­жае­мую функ­цию. Улуч­ше­ние при­бли­же­ния дос­ти­га­ет­ся за счёт уве­ли­че­ния чис­ла уз­лов $x_k$ и удач­но­го их рас­по­ло­же­ния на от­рез­ке $[a, b]$. Сплай­ны ока­за­лись удоб­ны­ми в вы­чис­лит. ма­те­ма­ти­ке, с их по­мо­щью уда­лось ре­шить так­же не­ко­то­рые за­да­чи тео­рии функ­ций.

При­бли­жён­ные пред­став­ле­ния функ­ций, а так­же са­ми функ­ции на ос­но­ве их при­бли­жён­ных пред­став­ле­ний изу­ча­ет тео­рия при­бли­же­ния функ­ций (упот­реб­ля­ют­ся так­же на­зва­ния «тео­рия ап­прок­си­ма­ции функ­ций» и «кон­ст­рук­тив­ная тео­рия функ­ций»). К тео­рии П. ф. обыч­но от­но­сят так­же за­да­чи о при­бли­же­нии эле­мен­тов в ба­на­хо­вых и об­щих мет­рич. про­стран­ст­вах.

Тео­рия П. ф. бе­рёт на­ча­ло в ра­бо­тах П. Л. Че­бы­ше­ва

. Он ввёл од­но из осн. по­ня­тий – по­ня­тие наи­луч­ше­го при­бли­же­ния по­ли­но­ма­ми и по­лу­чил ряд ре­зуль­та­тов о наи­луч­ших при­бли­же­ни­ях. Наи­луч­шим при­бли­же­ни­ем не­пре­рыв­ной функ­ции $f(x)$ по­ли­но­ма­ми $$\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x)$$ в мет­ри­ке ( * ) на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на $$E_n(f)_C=\min\left |\left | f- \sum_{k=0}^n a_kφ_k\right |\right|_C,$$ где ми­ни­мум бе­рёт­ся по всем чис­лам $a_0, ..., a_n$. По­ли­ном, на ко­то­ром этот ми­ни­мум дос­ти­га­ет­ся, на­зы­ва­ет­ся по­ли­но­мом наи­луч­ше­го при­бли­же­ния (для др. мет­рик оп­ре­де­ле­ния ана­ло­гич­ны). Че­бы­шев ус­та­но­вил, что наи­луч­шее П. ф. $x^{n+1}$ на от­рез­ке $[–1,1]$ в мет­ри­ке ( * ) ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­на­ми сте­пе­ни $n$ рав­но $2^{–n}$, а мно­го­член наи­луч­ше­го при­бли­же­ния та­ков, что для не­го $$x^{n+1}-\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x)=2^{-n}\cos(n+1)\arccos x.$$ Сле­дую­щая тео­ре­ма Че­бы­ше­ва ука­зы­ва­ет ха­рак­те­ри­стич. свой­ст­во по­ли­но­мов наи­луч­ше­го при­бли­же­ния в про­стран­ст­ве не­пре­рыв­ных функ­ций: ал­геб­ра­ич. мно­го­член $\sum_{k=0}^n a_kx^k$ яв­ля­ет­ся по­ли­номом наи­луч­ше­го при­бли­же­ния не­пре­рыв­ной функ­ции $f$ в мет­ри­ке (*) в том и толь­ко в том слу­чае, ко­гда су­ще­ст­ву­ют $n+2$ точ­ки $a⩽x_1\lt ... \lt x_{n+2}⩽b,$ в кото­рых раз­ность $f(x)-\sum_{k=0}^na_k x^k$ при­нима­ет макс. зна­че­ние сво­его мо­ду­ля с по­сле­до­ва­тель­но че­ре­дую­щи­ми­ся зна­ка­ми.

Од­ним из пер­вых ре­зуль­та­тов тео­рии при­бли­же­ний яв­ля­ет­ся так­же тео­ре­ма Вей­ер­шт­рас­са, со­глас­но ко­то­рой ка­ж­дую не­пре­рыв­ную функ­цию мож­но при­бли­зить в мет­ри­ке (*) сколь угод­но хо­ро­шо ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­на­ми дос­та­точ­но вы­со­кой сте­пе­ни.

С нач. 20 в. на­ча­лось сис­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ние по­ве­де­ния при $n→∞$ по­сле­до­ва­тель­но­сти $E_n(f)$ наи­луч­ших П. ф. $f$ ал­геб­ра­ич. или три­го­но­мет­рич. мно­го­чле­на­ми. С од­ной сто­ро­ны, вы­яс­ня­ет­ся ско­рость стрем­ле­ния к ну­лю при рос­те $n$ ве­ли­чин $E_n(f)$ в за­ви­си­мо­сти от диф­фе­рен­ци­аль­ных свойств функ­ции f (т. н. пря­мые тео­ре­мы тео­рии при­бли­же­ний), а с дру­гой – изу­ча­ют­ся свой­ства функ­ции $f$ по по­сле­до­ва­тель­но­сти её наи­луч­ших при­бли­же­ний (об­рат­ные тео­ре­мы тео­рии при­бли­же­ний). В ря­де важ­ных слу­ча­ев здесь по­лу­че­на пол­ная ха­рак­те­ри­сти­ка свойств функ­ции. Ни­же при­ве­де­ны две та­кие тео­ре­мы.

Для то­го что­бы функ­ция $f$ бы­ла ана­ли­ти­че­ской на от­рез­ке (т. е. в ка­ж­дой точ­ке это­го от­рез­ка пред­став­ля­лась сте­пен­ным ря­дом, рав­но­мер­но схо­дя­щим­ся к ней в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти этой точ­ки), не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы для по­сле­до­ва­тель­но­сти её наи­луч­ших при­бли­же­ний ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­на­ми бы­ли спра­вед­ли­вы оцен­ки $$E_n(f)_C⩽Aq^n,$$ где $q\lt 1$ и $A$ – не­ко­то­рые по­ло­жи­тель­ные чис­ла, не за­ви­ся­щие от $n$ (тео­ре­ма Берн­штей­на).

Для то­го что­бы функ­ция $f$ пе­рио­да $2π$ име­ла про­из­вод­ную по­ряд­ка $r$, $r=0, 1, ...,$ удов­ле­тво­ряю­щую ус­ло­вию $$\left |f^{(r)}(x+h)-f^{(r)}(x)\right|⩽M|h|^α$$ ($0\lt α\lt 1$, $M$ – не­ко­то­рое по­ло­жи­тель­ное чис­ло) или ус­ло­вию $$\left|f^{(r)}(x+h)-2f^{(r)}(x)+f^{(r)}(x-h)\right|⩽M|h|$$ ($M$ – не­ко­то­рое по­ло­жи­тель­ное чис­ло), не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы для наи­луч­ших П. ф. $f$ три­го­но­мет­рич. по­ли­но­ма­ми бы­ли спра­вед­ли­вы оцен­ки $$E_n(f)_C⩽A/n^{r+α},$$ где $A$ – не­ко­то­рое по­ло­жи­тель­ное чис­ло, не за­ви­ся­щее от $n$. В этом ут­вер­жде­нии пря­мая тео­ре­ма бы­ла в осн. до­ка­за­на амер. ма­те­ма­ти­ком Д. Джек­со­ном, а об­рат­ная яв­ля­ет­ся ре­зуль­та­том ис­сле­до­ва­ний С. Н. Берн­штей­на

, Ш. де Ла Вал­ле Пус­се­на

 >>

и амер. ма­те­ма­ти­ка А. Зиг­мун­да. Ха­рак­те­ри­сти­ка по­доб­ных клас­сов функ­ций, за­дан­ных на от­рез­ке, в тер­ми­нах наи­луч­ших при­бли­же­ний ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­на­ми ока­за­лась не­воз­мож­ной. Её уда­лось по­лу­чить, рас­смат­ри­вая П. ф. с улуч­ше­ни­ем по­ряд­ка при­бли­же­ния вбли­зи кон­цов от­рез­ка.

Воз­мож­ность ха­рак­те­ри­зо­вать клас­сы функ­ций с по­мо­щью их при­бли­же­ний по­ли­но­ма­ми на­шла при­ло­же­ние в ря­де об­щих во­про­сов ма­те­ма­тич. ана­ли­за. Раз­ви­вая ис­сле­до­ва­ния по наи­луч­шим П. ф. мно­гих пе­ре­мен­ных по­ли­но­ма­ми, С. М. Ни­коль­ский

по­стро­ил тео­рию вло­же­ний важ­ных для ана­ли­за клас­сов диф­фе­рен­ци­руе­мых функ­ций мн. пе­ре­мен­ных, в ко­то­рой спра­вед­ли­вы не толь­ко пря­мые, но и пол­но­стью об­ра­щаю­щие их об­рат­ные тео­ре­мы.

Для при­бли­же­ний в про­стран­ст­ве $L_2$ по­ли­ном наи­луч­ше­го при­бли­же­ния мо­жет быть лег­ко по­стро­ен. Для др. про­странств на­хо­ж­де­ние по­ли­но­мов наи­луч­ше­го при­бли­же­ния яв­ля­ет­ся труд­ной за­да­чей, и её уда­ёт­ся ре­шить толь­ко в отд. слу­ча­ях. Это при­ве­ло к раз­ра­бот­ке раз­но­го ро­да ал­го­рит­мов для при­бли­жён­но­го на­хо­ж­де­ния по­ли­но­мов наи­луч­ше­го при­бли­же­ния.

Труд­ность на­хо­ж­де­ния по­ли­но­мов наи­луч­ше­го при­бли­же­ния от­час­ти объ­яс­ня­ет­ся тем, что опе­ра­тор, со­пос­тав­ляю­щий функ­ции её по­ли­ном наи­луч­ше­го при­бли­же­ния, не яв­ля­ет­ся ли­ней­ным: по­ли­ном наи­луч­ше­го при­бли­же­ния для сум­мы $f+u$ не обя­за­тель­но ра­вен сум­ме по­ли­но­мов наи­луч­ше­го П. ф. $f$ и $u$. По­это­му воз­ник­ла за­да­ча изу­че­ния (по воз­мож­но­сти про­стых) ли­ней­ных опе­ра­то­ров, со­пос­тав­ляю­щих ка­ж­дой функ­ции по­ли­ном, даю­щий хо­ро­шее при­бли­же­ние. Напр., для пе­рио­дич. функ­ции $f(x)$ мож­но брать ча­ст­ные сум­мы её Фу­рье ря­да

по три­го­но­мет­рич. сис­те­ме $S_n(f, x)$. При этом спра­вед­ли­ва оцен­ка (тео­ре­ма Ле­бе­га) $$\left |\left |f-S_n(f)\right|\right|_C⩽(L_n+1)E_n(f)_C,$$ где $L_n$ – чис­ла, рас­ту­щие при рос­те $n$ как $(4/π^2)\ln n$, – т. н. кон­стан­ты Ле­бе­га. Эта оцен­ка по­ка­зы­ва­ет, что по­ли­но­мы $S_n(f, x)$ дос­тав­ля­ют при­бли­же­ние, не очень силь­но от­ли­чаю­щее­ся от наи­луч­ше­го.

Важ­ный при­мер ли­ней­но­го опе­ра­то­ра, ис­поль­зуе­мо­го при П. ф., да­ёт ин­тер­по­ля­ция

функ­ций, ко­гда тре­бу­ет­ся, что­бы в оп­ре­де­лён­ных точ­ках (уз­лах ин­тер­по­ли­ро­ва­ния) сов­па­да­ли зна­че­ния функ­ции и при­бли­жаю­ще­го её по­ли­но­ма, а в бо­лее об­щем слу­чае – и зна­че­ния не­ко­то­рых их про­из­вод­ных. Оцен­ка, по­доб­ная тео­ре­ме Ле­бе­га, спра­вед­ли­ва и для при­бли­же­ний ин­тер­по­ля­ци­он­ны­ми три­го­но­мет­рич. по­ли­но­ма­ми с рав­но­от­стоя­щи­ми уз­ла­ми ин­тер­по­ли­ро­ва­ния, а так­же для при­бли­же­ний ин­тер­по­ля­ци­он­ны­ми ал­геб­ра­ич. мно­го­чле­на­ми на отрез­ке $[–1,1]$ с уз­ла­ми $x_k=\cos\frac{2k-1}{2n} \pi$, $k=1, 2, ..., n$, т. е. в точ­ках, где по­ли­ном Че­бы­ше­ва $\cos n \arccos x$ об­ра­ща­ет­ся в нуль.

Для боль­шин­ст­ва встре­чаю­щих­ся в ана­ли­зе клас­сов функ­ций из­вест­ны та­кие ли­ней­ные опе­ра­то­ры, по­стро­ен­ные с по­мо­щью ря­дов Фу­рье или на ос­но­ве ин­тер­по­ля­ци­он­ных по­ли­но­мов, что зна­че­ния­ми этих опе­ра­то­ров яв­ля­ют­ся по­ли­но­мы, даю­щие на клас­се тот же по­ря­док убы­ва­ния при­бли­же­ний при $n→∞$, что и наи­луч­шие при­бли­же­ния.

А. Н. Кол­мо­го­ров

на­чал изу­че­ние но­во­го во­про­са тео­рии при­бли­же­ний – за­да­чи о на­хо­ж­де­нии при фик­си­ро­ван­ном $n$ та­кой сис­те­мы функ­ций $φ_1, ..., φ_n$, для ко­то­рой наи­луч­шие П. ф. за­дан­но­го клас­са по­ли­но­ма­ми $\sum_{k=1}^n a_kφ_k(x)$ бы­ли бы наимень­ши­ми (за­да­ча о по­пе­реч­ни­ке клас­са функ­ций). В этом на­прав­ле­нии в даль­ней­шем бы­ло вы­яс­не­но, напр., что для ря­да важ­ных клас­сов пе­рио­дич. функ­ций наи­луч­ши­ми в ука­зан­ном смы­с­ле сис­те­ма­ми яв­ля­ют­ся три­го­но­мет­рич. по­ли­но­мы.

Тео­рия П. ф. – од­но из наи­бо­лее ин­тен­сив­но раз­ра­ба­ты­вае­мых на­прав­ле­ний в тео­рии функ­ций. Идеи и ме­то­ды тео­рии при­бли­же­ний яв­ля­ют­ся от­прав­ной точ­кой ис­сле­до­ва­ния в ря­де во­про­сов вы­чис­лит. ма­те­ма­ти­ки.